مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

آنالیز ریاضی‌ ١

نام درس (انگلیسی):

Mathematical Analysis 1

دروس پیش‏نیاز:

مبانی‌ ریاضی

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف کلی درس:

آنالیز نام عمومی‌ آن بخش‌هایی‌ از ریاضیات است‌ که‌ با مفاهیم‌ حد و همگرایی‌ مربوط هستند و در آن‌ها موضوعاتی‌ مثل‌ فاصله‌، پیوستگی‌ و انتگرال‌پذیری‌ و مشتق‌پذیری‌ و ساختمان اعداد حقیقی‌ و دنباله‌ها بررسی‌ می‌شود.

مباحث / سرفصل­ها:

1. ساختمان اعداد حقیقی‌: خواص جبری‌ و ترتیبی اعداد حقیقی‌، میدان مرتب‌، قدر مطلق‌، خاصیت‌ کمال، میدان اعداد مختلط‌.

2. نامساوی‌ها: نامساوی‌ کوشی‌-شوارتز، نامساوی‌ هولدر، نامساوی‌ مینکوفسکی‌.

3. فضاهای‌ متریک‌: فضاهای‌ متریک‌ و آشنایی‌ با برخی‌ از مفاهیم‌ اولیه‌ مربوطه‌ از جمله‌ همسایگی‌، مجموعه‌های‌ باز و بسته‌، نقاط حدی‌، بستار، نقاط تراکم‌، دنباله‌ها در فضاهای‌ متریک‌، هم‌گرایی‌ دنباله‌ها، دنباله‌ها در اعداد حقیقی‌، مجموعه‌ حدود زیردنباله‌ای‌، حد بالا و پایین‌ دنباله‌های‌ حقیقی‌، آشنایی‌ با خواص مجموعه‌های‌ فشرده و قضایای‌ مربوطه‌، مفهوم فشردگی‌ دنباله‌ای‌ و رابطه‌ آن با فشردگی‌، قضیه‌ هاینه-بورل، مجموعه‌های‌ کراندار کلی‌، مجموعه‌های‌ کامل‌، مفهوم همبندی‌ و قضایای‌ مربوطه‌، مفهوم پایه‌ در فضاهای‌ متریک‌، فضاهای‌ تفکیک‌پذیر، قضیه‌ لیندلف‌، مجموعه‌ کانتور و خواص آن، مجموعه‌های‌ از رسته‌ اول و دوم، قضیه‌ کاتگوری‌ بیر، متریک‌های‌ معادل و فضاهای‌ حاصل‌ضربی‌.

4. پیوستگی‌: حد و پیوستگی‌ توابع‌ در فضاهای‌ متریک‌، پیوستگی‌ یکنواخت‌، ارتباط پیوستگی‌ با فشردگی‌ و همبندی‌، مفهوم همبندی‌ مسیری‌، رده‌بندی‌ نقاط ناپیوستگی‌، ناپیوستگی‌ توابع‌ یکنوا.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th ed.). Wiley.

2. Rudin, W. (1976). Principals of Mathematical Analysis. McGraw Hill.

3. Searcoid, M. O. (2007). Metric Spaces. Springer-Verlag. London.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

آنالیز ریاضی‌ ۲

نام درس (انگلیسی):

Mathematical Analysis 2

دروس پیش‏نیاز:

آنالیز ریاضی 1

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف کلی درس:

هدف این‌ درس آشنایی‌ با مفهوم انتگرال ریمان ـ استیلیس‌، مطالعه‌ قضایای‌ مربوط به‌ مشتق‌ و سری‌های‌ عددی‌، فضای‌ توابع‌ پیوسته‌ روی‌ فضاهای‌ متریک‌، دنباله‌ توابع‌ و روابط‌ میان آن‌ها مانند هم‌گرایی‌، هم‌پیوستگی‌ و سری‌های‌ فوریه‌ است.

مباحث / سرفصل­ها:

1. مشتق‌: قضیه‌ مقدار میانگین‌ و کاربردهای‌ آن، خاصیت‌ مقدار میانی‌ مشتق‌، قاعده هوپیتال، قضیه‌ تیلور، مشتق‌ توابع‌ برداری‌ مقدار.

2. سری‌های‌ عددی‌: سری‌ها و قضایای‌ مقدماتی‌ در باب سری‌، سری‌های‌ با جملات نامنفی‌، آزمون ریشه‌ و نسبت‌، سری‌های‌ متناوب، هم‌گرایی‌ مطلق‌، جمع‌ و ضرب سری‌ها، قضیه‌ تجدید آرایش‌ ریمان.

3. انتگرال ریمان-استیلیس‌: انتگرال‌پذیری‌، شرط ریمان برای‌ وجود انتگرال، انتگرال‌پذیر بودن توابع‌ پیوسته‌، تغییر متغیر، تبدیل‌ انتگرال ریمان- استیلیس‌ به‌ انتگرال ریمان و قضیه‌ اساسی‌ حسابان، مجموعه‌ با اندازه صفر، محک‌ لبگ‌، انتگرال ناسره.

4. توابع‌ با تغییرات کراندار و پیوسته‌ مطلق‌: معرفی‌ توابع‌ با تغییر کراندار، قضایای‌ مربوطه‌، ارتباط توابع‌ با تغییر کراندار با توابع‌ صعودی‌، خم‌های‌ متناهی‌ طول، انتگرال‌پذیری‌ نسبت‌ به‌ توابع‌ با تغییر کراندار، توابع‌ پیوسته‌ مطلق‌ و قضایای‌ مربوطه‌.

5. دنباله‌ها و سری‌های‌ توابع‌: همگرایی‌ نقطه‌یی‌ و یکنواخت‌ و رابطه‌ آن‌ها با کرانداری‌، پیوستگی‌، مشتق‌ و انتگرال، آزمون‌های‌ هم‌گرایی‌ یکنواخت‌ سری‌ها (مانند آزمون‌های‌ M-وایراشتراس، آبل‌، دیریکله‌، ...)، وجود تابع‌ پیوسته‌ هیچ‌جا مشتق‌پذیر روی‌ ℝ، سری‌های‌ توانی‌ و هم‌گرایی‌ یکنواخت‌ آن‌ها، قضیه‌ حد آبل‌، تابع‌ گاما و قضیه‌ مالراپ-بوهر.

6. فضاهای‌ توابع‌ پیوسته‌: نرم سوپریمم‌، هم‌پیوستگی‌، قضیه‌ آرزولا-آسکولی‌، جبر توابع‌، قضیه‌ استون-وایرشتراس.

7. سری‌های‌ فوریه‌: معرفی‌ سری‌های‌ فوریه‌، ضرایب‌ فوریه‌، نامساوی‌ بسل‌، قضیه‌ پارسوال، هم‌گرایی‌ سری‌های‌ فوریه‌، قضیه‌ فییر.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. Bartle, R. G., Sherbert, D. R., & Robert, G. (2011). Introduction to Real Analysis. Wiley.

2. Rudin, W. (1976). Principals of Mathematical Analysis. McGraw Hill.

3. Zorich, V. (2004). Mathematical Analysis II. Springer-Verlag, New York.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

آنالیز عددی

نام درس (انگلیسی):

Numerical Analysis

دروس پیش‏نیاز:

جبر خطی ۱، مباني برنامه‌سازي كامپيوتر و آزمایشگاه

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

ریاضی عمومی 2

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

۶۴

۰

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه ¢ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف درس:

طراحی و تحلیل الگوریتم‌های عددی برای حل تقریبی مسائلی مانند معادلات و دستگاه معادلات غیرخطی، درون‌یابی، چندجمله‌ای بهترین تقریب، انتگرال‌گیری عددی، مشتق‌گیری عددی و بررسی خطاها. آشنایی با مفاهیمی مانند وضعیت مسئله، پایداری، همگرایی و کارایی الگوریتم‌ها. همچنین استفاده از یک زبان برنامه‌نویسی مانند متلب در یک محیط عددی و یک نرم‌افزار ریاضی نمادین مانند متمتیکا یا میپل برای پیاده‌سازی الگوریتم‌های عددی و نمادین در رایانه و بررسی و تفسیر خطاهای محاسباتی

مباحث / سرفصل­ها:

1. خطاها: شناخت انواع خطا و انواع منابع تولید خطا، آشنایی با جلوگیری از انتشار خطا.

2. ریشه‌یابی: حل عددی معادلات غیرخطی یک متغیره (بررسی روش‌های دوبخشی، نابجایی، تکرار ساده، نیوتن و وتری)، روش نیوتن در حل دستگاه معادلات غیرخطی.

3. درون‌یابی: بررسی روش‌های لاگرانژ و تفاضلات تقسیم‌شده نیوتن، روش‌های مبتنی بر نقاط هم‌فاصله و درون‌یابی هموار اسپلاین، خطای درون‌یابی و مینیمم‌سازی آن.

4. تقریب توابع: تقریب کم‌ترین مربعات گسسته و پیوسته.

5. مشتق‌گیری عددی: استفاده از چندجمله‌ای درون‌یاب، استفاده از بسط تیلور و روش گاوس.

6. انتگرال‌گیری عددی: روش‌های نیوتن-کاتس (شامل قواعد ذوزنقه، سیمسون و نقطه میانی)، روش گاوس و تکنیک رامبرگ.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی l گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. اتکینسون، ک. (1989). آشنایی با آنالیز عددی (ویرایش دوم). ترجمه: علی دانایی (1394). مرکز نشر دانشگاهی.

2. بابلیان، ا. (1401). مبانی آنالیز عددی (چاپ چهارم). انتشارات فاطمی.

3. Burden, R. L., Faires, D. J., & Burden, A. A. (2016). Numerical analysis (10th ed.). Cengage Learning

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

آنالیز مختلط مقدماتی

نام درس (انگلیسی):

Elementary Complex Analysis

دروس پیش‏نیاز:

آنالیز ریاضی ۲

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف کلی درس:

آشنایی‌ با مفاهیم‌ مقدماتی‌ توابع‌ مختلط‌ از قبیل‌ مشتق‌، انتگرال و به‌‌کارگیری آن‌ها برای فهم‌ زمینه‌‌های پیشرفته‌تر توابع‌ مختلط‌.

مباحث / سرفصل­ها:

1. دستگاه اعداد مختلط‌، اعمال جبری و نمایش‌ قطبی‌ اعداد مختلط‌، قضیه‌ دموآور، ریشه‌ها، صفحه‌ توسعه‌یافته‌ و نمایش‌ کروی آن، مفاهیم‌ توپولوژیکی‌ اعداد مختلط‌.

2. توابع‌ مقدماتی‌ و خواص نگاشتی‌ آن‌ها، حد، پیوستگی‌ و مشتق‌ توابع‌، شرایط‌ لازم و کافی‌ برای مشتق‌پذیری و شرایط‌ کوشی‌-ریمان، توابع‌ تحلیلی‌، توابع‌ همساز، مثلثاتی‌، نمایی‌ و لگاریتم‌.

3. تعریف‌ خم‌ و انتگرال روی آن، قضیه‌ و فرمول انتگرال کوشی‌ و کاربردهای آن، اصل‌ ماکزیمم‌ مطلق‌، قضیه‌ لیوویل و قضیه‌ اساسی‌ جبر.

4. انواع سری‌های مختلط‌ (توانی‌، تیلور و لوران)، اصل‌ یگانگی‌، نقاط تکین‌ منفرد، اصل‌ آوند، قضایابی روشه‌،‌ هرویتس‌ و نگاشت‌ باز.

5. مانده و محاسبه‌ آن در قطب‌، کاربرد مانده در محاسبه‌ انتگرال‌های حقیقی‌ و سری‌ها.

6. نگاشت‌های همدیس‌، خطی‌ و معکوس و تبدیل‌ های دوخطی‌.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. براون، ج. و.، و چرچیل، ر. و. (2013). متغیر‌های مختلط و کاربردها (ویرایش نهم). ترجمه: امیر خسروی (1399). مرکز نشر دانشگاهی.

2. Marsden, J., Hoffman, M. G., & Freeman, W. H. (1999). Basic Complex Analysis (3rd ed.). W. H. Freeman..

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

احتمال و کاربرد آن

نام درس (انگلیسی):

Probability And Its Applications

دروس پیش‏نیاز:

ریاضی عمومی ۲

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

۶۴

۰

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف درس:

این‌ درس اولین‌ درس پایه‌ای‌ در احتمال است‌ که‌ هدف آن آشنایی‌ با قوانین‌ شمارش و مبانی‌ احتمال، متغیرهای‌ تصادفی‌، توزیع‌های‌ یک‌ متغیره و توام و امید ریاضی‌ است‌.

مباحث / سرفصل­ها:

1. اصول احتمال، فضای نمونه، احتمال یک پیشامد، احتمال شرطی و استقلال.

2. متغیرهای تصادفی، تابع توزیع، معرفی متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته.

3. امید ریاضی و خواص آن، امید ریاضی تابعی از متغیر تصادفی گسسته.

4.  متغیرهای تصادفی گسسته خاص مانند برنولی، دوجمله‌ای، پوآسون، هندسی.

5. متغیر تصادفی پیوسته، تابع چگالی احتمال، امید ریاضی و واریانس متغیرهای تصادفی پیوسته، متغیرهای تصادفی پیوسته خاص مانند یکنواخت، نرمال، نمایی، گاما.

6. بردارهای تصادفی و توزیع توام آنها، کوواریانس و ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی، متغیرهای تصادفی مستقل، توزیع‌های شرطی، امید ریاضی شرطی، توزیع توام توابعی از متغیرهای تصادفی.

7. تابع مولد گشتاور و کاربردهای آن. 

8. نامساوی‌های مهم در احتمال.

9. قضیه حد مرکزی و قانون اعداد بزرگ.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. پارسیان، ا.، برهانی حقیقی‌، ع.، صدوقی الوندی‌، س. م.، کرمانی‌، س. ن. ا. ا.، کرمانی‌، ع. (1399). آشنایی‌ با احتمال و نظریه‌ توزیع‌ها، جلد اول (ویرایش دوم). انتشارات علمی‌ پارسیان.

2. راس، ش. (2010). مبانی‌ احتمال (ویرایش‌ هشتم). ترجمه:‌ احمد پارسیان و علی‌ همدانی‌ (1400). انتشارات شیخ‌ بهایی‌.

3. قهرمانی‌، س. (2001). مبانی احتمال (ویرایش سوم). ترجمه: غلام‌حسین شاهکار و ابوالقاسم بزرگ‌نیا (١٣٨٠). مؤسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

توپولوژی عمومی

نام درس (انگلیسی):

General Topology

دروس پیش‏نیاز:

آنالیز ریاضی ۲

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

۶۴

۰

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف درس:

معرفی‌ پیوستگی‌ و ساختارهای وابسته‌ به‌ آن، ایجاد شهود فکری در توابع‌ پیوسته‌ و همچنین آماده کردن دانشجو جهت‌ اخذ دروس پیشرفته‌ در کلیه‌ زمینه‌های ریاضی‌.

مباحث / سرفصل­ها:

1. مقدمه‌ و تعریف‌های اولیه‌: تعریف‌های مختلف‌ توپولوژی با استفاده از اصول موضوع مجموعه‌های باز (یا به‌‌طور معادل اصول موضوع مجموعه‌های بسته‌)، چسبندگی‌ و عملگر کوراتوفسکی‌، مثال‌های مختلف‌ از فضا با توپولوژی‌های متناهی‌، گسسته‌، پادگسسته‌، متریک‌، ترتیبی‌، تعریف‌ همسایگی‌ یک‌ نقطه‌، نقطه‌ درونی‌، نقطه چسبیده، نقطه‌ مرزی، بستار مجموعه‌ و زیرمجموعه‌ چگال، پایه‌ و زیرپایه‌ توپولوژی، پایه‌ در یک‌ نقطه‌، فضاهای تفکیک‌پذیر، شمارای نوع اول و نوع دوم، فضاهای       

2. تابع‌های پیوسته‌ و ساختن‌ فضاهای توپولوژیک جدید: پیوستگی‌ تابع‌ در یک‌ نقطه‌، تابع‌ پیوسته‌، نگاشت‌ باز، نگاشت‌ بسته‌، زیرفضاها، فضاهای حاصل‌جمعی‌ و حاصل‌ضربی‌، نشاننده و همسان‌ریختی‌، نگاشت‌ و فضای خارج‌قسمتی، توپولوژی‌های قوی و ضعیف‌.

3. همبندی: فشردگی‌، فضاهای فشرده با توپولوژی ترتیبی‌، همبندی راهی‌ و مؤلفه‌ آن‌، همبندی موضعی‌ و مؤلفه‌ همبندی موضعی‌ راهی‌.

4. اصول جداسازی: فضای منظم‌، فضای نرمال، لم‌ اوریسن‌.

5. پالایه‌ها و تورها: تورها، پالایه‌ها، اثبات قضیه‌ زیرپایه‌ الکساندر و قضیه‌ تیخونف‌.

6. توپولوژی فضاهای متریک‌: قضایای متریک‌‌پذیری، قضیه‌ ثر، خم‌ فضا پر کن‌.

7. گروه‌های توپولوژیک‌ (در صورت وقت‌): گروه توپولوژیک‌، زیرگروه و گروه خارج‌قسمتی‌ آن، عمل‌ گروه توپولوژیک‌ بر فضای توپولوژیک‌ و فضای همگن‌، قضیه‌ بیرکف‌، کاکوتائی‌ درباره متریک‌‌پذیری گروه‌های توپولوژیک‌، روش‌های توپولوژیک‌ ماتریسی‌.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی¡

منابع درسی: 

1. مانکرز، ج. ر. (2000) توپولوژی، نخستین درس (ویرایش دوم)‌. ترجمه: یحیی تابش، ابراهیم صالحی، جواد لآلی و نادر وکیل (1396). مرکز نشر دانشگاهی.

2. Bourbaki, N. (1966). Elements of Mathematics: General Topology, Part 1. Hermann.

3. Bourbaki, N. (1966). Elements of Mathematics: General Topology, Part 2. Hermann.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

جبر ۱

نام درس (انگلیسی):

Algebra  1

دروس پیش‏نیاز:

مبانی ریاضی

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف کلی درس:

جبر ابزاری دقیق و توانمند در ریاضیات است. در این مبحث از ریاضیات است که استدلال‌های منطقی به بهترین وجه نمایان می‌شوند. میزان مستدل بودن هر علمی به درجه تبدیل مسئله‌های آن به مدل‌های ریاضی بستگی دارد. نقش جبر در ریاضیات قابل قیاس با نقش ریاضیات در علوم است. بسیاری از ساختارهایی که در شاخه‌های مختلف علوم ریاضی ظاهر می‌شوند، در مبحث جبر به‌صورت انتزاعی مطالعه می‌شوند که باعث پیشرفت هر دو شاخه می‌شود. در اولین برخورد با این درس دو مفهوم گروه و حلقه به‌صورت دقیق مطالعه می‌شوند. ازآنجاکه این درس در اکثر درس‌های علوم ریاضی به نوعی مطرح می‌شود و دروازه‌ای به دروس نظری ریاضیات و علوم کامپیوتر است، اطمینان از درک صحیح دانشجویان از مفاهیم و قضایای آن کمک شایانی به فهم بهتر ریاضیات و کاربردهای آن می‌کند. تسلط دانشجویان بر این درس پایه‌ محکمی برای درس‌های بعدی و تجربه با ارزشی برای مطالعه بیشتر اصل موضوعی در ریاضیات را فراهم می‌کند.

مباحث / سرفصل­ها:

1. مرور برخی خواص مجموعه‌ها، روابط و توابع، اعمال دوتایی، رابطه‌های هم‌ارزی، مرور خواص اساسی اعداد صحیح.

2. مفاهیم‌ اولیه‌ (عمل‌ دوتایی‌، ساختارهای‌ دوتایی‌، یکریختی‌ ساختارهایی‌ دوتایی‌)، نیم‌گروه‌ها، گروه‌ها، مثال‌‌هایی از گروه‌ها (گروه دووجهی، گروه چهارگان، گروه شبه دوری، ...)، جدول کیلی.

3. معرفی و بررسی خواص گروه‌های مهم از قبیل گروه رده‌های مانده‌ای به پیمانه n و گروه جایگشت‌ها روی n حرف.

4. زیرگروه‌ها، گروه‌های‌ دوری‌، مرتبه‌ یک‌ عضو، ساختار گروه‌های‌ دوری‌ (متناهی‌ و نامتناهی‌)، زیرگروه‌های مهم یک گروه، مرکز‌ساز یک عضو، مرکز، نرمال‌ساز یک زیرگروه.

5. تولید گروه‌ها، گروه‌‌های متناهی تولید، هم‌مجموعه‌ها.

6. شاخص یک زیرگروه، معادله‌ی رده‌ای و کاربردهای آن، قضیه‌ لاگرانژ، زیرگروه‌های نرمال، ساده بودن گروه متناوب.

7. گروه‌های خارج‌قسمتی، قضیه‌ کوشی، هم‌ریختی، یک‌ریختی، گروه خودریختی‌های یک گروه دوری، قضایای یک‌ریختی، ساختار گروه‌های آبلی متناهی.

8. حلقه، خواص مقدماتی حلقه‌ها، حلقه‌ ماتریس‌ها، مقسوم‌علیه صفر، اعضای وارون‌پذیر، اعضای پوچ‌توان و خودتوان، دامنه‌ صحیح، زیرحلقه، هم‌ریختی، ایده‌آل، حلقه‌ خارج‌قسمتی، قضایای یک‌ریختی، مفاهیم‌ اولیه‌ مربوط به‌ حلقه‌ها و مثال‌هایی‌ برای‌ آن‌ها (مانند حلقه‌ کواترنیون‌ها، هم‌ریختی‌ حلقه‌ها، زیرحلقه‌ها).

1. مقسوم‌علیه‌های‌ صفر، حوزه‌های‌ صحیح‌، مشخصه‌ یک‌ حلقه‌، نشانیدن حلقه‌ها، میدان کسرهای‌ یک‌ حوزه صحیح.

2. ایده‌آل یک‌ حلقه‌، ایده‌آل تولید‌شده توسط‌ یک‌ مجموعه‌، حلقه‌های‌ خارج‌قسمتی‌، ایده‌آل‌های‌ اول و ماکسیمال، قضایای‌ یک‌ریختی‌ حلقه‌‌ها و آشنایی‌ مختصر با حلقه‌ چندجمله‌ای‌ها، حلقه‌ کسرهای یک دامنه‌ صحیح، مرور مختصر حلقه‌ چندجمله‌ای‌ها، چندجمله‌ای‌های تحویل‌ناپذیر، تجزیه‌ چندجمله‌ای‌ها روی یک میدان.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. طائری، ب. (1383). مبانی جبر مجرد. مرکز نشر دانشگاه صنعتی اصفهان.

2. Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3th ed.). Prentice Hall. 

3. Herstien, I. N. (1999).  Abstract algebra. Prentice Hall. 

4. Malik, D. S., Mordeson, J. M., & Sen, N. K. (1997). Fundamentals of abstract algebra. McGraw Hill.Ireland, K., & Rosen, M. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer.

5. Niven, I., Zuckerman, H. S., & Montgomery, H. L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers. Wiley.

6. Rosen, K. H. (2011). Elementary Number Theory. Pearson Education. London.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

جبر 2

نام درس (انگلیسی):

Algebra 2

دروس پیش‏نیاز:

جبر 1

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف کلی درس:

جبر ۲ دومین درس در جبر مجرد پس از جبر ۱ است. بخشی از اهمیت جبر در سرفصل جبر  ۱ آورده شده است. در این درس مطالب جبر  ۱ به‌طور گسترده‌تر در دو بخش نظریه گروه‌ها و نظریه حلقه‌ها بسط داده خواهند شد. عمل گروه که یکی از کاربردی‌ترین ایده‌های نظریه‌ گروه‌ها در علوم و مهندسی است، در این درس بررسی خواهد شد. یکی دیگر از مفاهیم اساسی جبر مفهوم مدول است که در این درس بررسی می‌شود. با توجه به تأکید بر تجرید در این درس، قوای ذهنی دانشجو تقویت شده و باعث می‌شود بر قدرت تجزیه و تحلیل ریاضی دانشجو در حل مسائل افزوده شود. همچنین دانشجو در این درس با مفاهیم بیشتری از نظریه‌‌ گروه‌ها و حلقه‌ها آشنا می‌شود.

مباحث / سرفصل­ها:

1. مرور برخی خواص اساسی گروه‌ها، حاصل‌ضرب مستقیم گروه‌ها.

2. عمل گروه روی یک مجموعه، عمل چپ منظم گروه، عمل مزدوجی گروه، کاربردهایی از عمل گروه، قضایای سیلو و برخی کاربردهای آنان.

3. مشخصه‌سازی گروه‌های آبلی با تولید متناهی، گروه‌های پوچ‌توان و خواص اساسی آن‌ها، شرایط معادل برای گروه‌های پوچ‌توان متناهی.

4. مدول‌ها، زیرمدول‌ها، تولید زیرمدول‌ها، مدول‌های با تولید متناهی، مدول‌های خارج‌قسمتی، هم‌ریختی مدول‌ها، قضایای یک‌ریختی مدول‌ها، جمع مستقیم مدول‌ها، شرط زنجیره‌ای در مدول‌ها.

5. یادآوری خواص اساسی حلقه‌ها، حاصل‌ضرب مستقیم حلقه‌ها، ایده‌آل‌های اول و ماکسیمال.

6. حلقه‌ چند‌جمله‌ای‌ها، چندجمله‌ای‌های تحویل‌پذیر و تحویل‌ناپذیر، محک آیزنشتاین، یکتایی تجزیه چندجمله‌ای‌ها در حلقه‌ چندجمله‌ای‌ها روی یک میدان. 

7. دامنه‌ ایده‌آل اصلی، ایده‌آل‌ها و حلقه‌های خارج‌قسمتی حلقه‌ چندجمله‌ای‌ها روی یک میدان، مفهوم تجزیه و یکتایی تجزیه در دامنه‌های صحیح، عناصر اول و تحویل‌ناپذیر در یک حلقه‌ تعویض‌پذیر.

8. دامنه‌های تجزیه یکتا، دامنه‌های اقلیدسی.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. طائری، ب. (1383). مبانی جبر مجرد. مرکز نشر دانشگاه صنعتی اصفهان.

2. Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3th ed.). Prentice Hall. 

3. Herstien, I.N. (1999). Abstract algebra. Prentice Hall. 

4. Malik, D. S., Mordeson, J. M., & Sen, N. K. (1997). Fundamentals of abstract algebra. McGraw HillRosen, K. H. (2011). Elementary Number Theory. Pearson Education. London

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

جبر 2

نام درس (انگلیسی):

Algebra 2

دروس پیش‏نیاز:

جبر 1

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف کلی درس:

جبر ۲ دومین درس در جبر مجرد پس از جبر ۱ است. بخشی از اهمیت جبر در سرفصل جبر  ۱ آورده شده است. در این درس مطالب جبر  ۱ به‌طور گسترده‌تر در دو بخش نظریه گروه‌ها و نظریه حلقه‌ها بسط داده خواهند شد. عمل گروه که یکی از کاربردی‌ترین ایده‌های نظریه‌ گروه‌ها در علوم و مهندسی است، در این درس بررسی خواهد شد. یکی دیگر از مفاهیم اساسی جبر مفهوم مدول است که در این درس بررسی می‌شود. با توجه به تأکید بر تجرید در این درس، قوای ذهنی دانشجو تقویت شده و باعث می‌شود بر قدرت تجزیه و تحلیل ریاضی دانشجو در حل مسائل افزوده شود. همچنین دانشجو در این درس با مفاهیم بیشتری از نظریه‌‌ گروه‌ها و حلقه‌ها آشنا می‌شود.

مباحث / سرفصل­ها:

1. مرور برخی خواص اساسی گروه‌ها، حاصل‌ضرب مستقیم گروه‌ها.

2. عمل گروه روی یک مجموعه، عمل چپ منظم گروه، عمل مزدوجی گروه، کاربردهایی از عمل گروه، قضایای سیلو و برخی کاربردهای آنان.

3. مشخصه‌سازی گروه‌های آبلی با تولید متناهی، گروه‌های پوچ‌توان و خواص اساسی آن‌ها، شرایط معادل برای گروه‌های پوچ‌توان متناهی.

4. مدول‌ها، زیرمدول‌ها، تولید زیرمدول‌ها، مدول‌های با تولید متناهی، مدول‌های خارج‌قسمتی، هم‌ریختی مدول‌ها، قضایای یک‌ریختی مدول‌ها، جمع مستقیم مدول‌ها، شرط زنجیره‌ای در مدول‌ها.

5. یادآوری خواص اساسی حلقه‌ها، حاصل‌ضرب مستقیم حلقه‌ها، ایده‌آل‌های اول و ماکسیمال.

6. حلقه‌ چند‌جمله‌ای‌ها، چندجمله‌ای‌های تحویل‌پذیر و تحویل‌ناپذیر، محک آیزنشتاین، یکتایی تجزیه چندجمله‌ای‌ها در حلقه‌ چندجمله‌ای‌ها روی یک میدان. 

7. دامنه‌ ایده‌آل اصلی، ایده‌آل‌ها و حلقه‌های خارج‌قسمتی حلقه‌ چندجمله‌ای‌ها روی یک میدان، مفهوم تجزیه و یکتایی تجزیه در دامنه‌های صحیح، عناصر اول و تحویل‌ناپذیر در یک حلقه‌ تعویض‌پذیر.

8. دامنه‌های تجزیه یکتا، دامنه‌های اقلیدسی.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. طائری، ب. (1383). مبانی جبر مجرد. مرکز نشر دانشگاه صنعتی اصفهان.

2. Dummit, D. S., & Foote, R. M. (2004). Abstract Algebra (3th ed.). Prentice Hall. 

3. Herstien, I.N. (1999). Abstract algebra. Prentice Hall. 

4. Malik, D. S., Mordeson, J. M., & Sen, N. K. (1997). Fundamentals of abstract algebra. McGraw HillRosen, K. H. (2011). Elementary Number Theory. Pearson Education. London

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

جبر‌ خطی 1

نام درس (انگلیسی):

Linear Algebra 1

دروس پیش‏نیاز:

مبانی ریاضی

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف کلی درس:

هدف از این‌ درس مطالعه‌ ماتریس‌ها، بردارها، فضاهای‌ برداری‌، تبدیلات خطی و دستگاه‌های‌ معادلات خطی‌ است‌. جبر‌ خطی‌ کاربردهای‌ فراوان و گوناگونی‌ در ریاضیات و محاسبات گسسته‌ دارد. علاوه‌بر کاربردهای‌ آن در زمینه‌هایی‌ از خود ریاضیات (مانند جبر مجرد، آنالیز تابعی‌، هندسه‌ تحلیلی‌، و آنالیز عددی)‌،‌ استفاده‌های‌ وسیعی‌ نیز در فیزیک‌، مهندسی‌ و دیگر علوم پیدا کرده است‌. بخش‌های‌ عمده این‌ درس شامل‌ فضاهای‌ برداری‌، تبدیلات خطی‌، مقدار ویژه و بردار ویژه و دستگاه معادلات خطی‌ است.

جبر‌ خطی از مهم‌ترین مباحث در ریاضی است. در این مبحث ماتریس‌ها، دستگاه معادلات خطی، فضاهای برداری، تبدیل‌های خطی مطالعه می‌شوند. کاربردهای نظری و عملی بسیار زیاد، جبر‌ خطی را به شاخه‌ای جذاب از ریاضی تبدیل کرده است. کمتر شاخه‌ای از ریاضیات را می‌توان یافت که از جبر‌ خطی استفاده نکند. این اهمیت باعث شده درس جبر‌ خطی به‌عنوان یک درس پایه‌ برای برخی از رشته‌های کارشناسی و تحصیلات تکمیلی علوم و مهندسی مطرح باشد. در اولین برخورد با جبر‌ خطی لازم است علاوه‌بر آماده‌سازی دانشجو برای درک مفاهیم نظری، جنبه‌های کاربردی و محاسباتی آن نیز مورد توجه قرار گیرد. برای اولین درس بهتر است برخی مفاهیم نظری ساده‌تر ارائه و از اثبات‌های نظری پیچیده و مشکل صرف‌نظر کرد.

مباحث / سرفصل­ها:

1. ماتریس‌ها و اعمال جبری روی آن‌ها، دستگاه معادلات خطی، اعمال سطری مقدماتی، ماتریس‌های سطری پلکانی تحویل‌یافته، رتبه ماتریس،  محاسبه وارون یک ماتریس.

2. دترمینان و خواص مقدماتی آن.

3. فضاهای برداری و خواص آن‌ها، مثال‌های مهم فضاهای برداری، زیرفضا، استقلال و وابستگی خطی، پایه و بعد، جمع زیرفضاها.

4. فضاهای ضرب داخلی، قضیه‌ گرام-اشمیت،  تجزیه‌ متعامد.

5. تبدیل‌های خطی، ماتریس یک تبدیل خطی، ماتریس تبدیل پایه، رتبه و پوچی تبدیل خطی، مقادیر و بردارهای ویژه، چندجمله‌ای سرشت‌نما، چندجمله‌‌ای مینیمال، قضیه تجزیه اولیه یا طیفی، قضیه کیلی همیلتون، فرم‌های مثلثی، فرم‌های ژردان.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. طائری، ب. (1392). مبانی ماتریس‌ها و جبر خطی. انتشارات دانشگاه صنعتی اصفهان.
2. لیپشوتز، س.، و لیسپون، م. (2009). جبر خطی (ویرایش چهارم). ترجمه: علی‌اکبر محمدی حسن‌آبادی (1391). انتشارات نورپردازان.

3. Meyer, C. D. (2000). Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM.

4. Nicholson, W. K. (1993). Linear algebra with applications (3rd ed.). PWS Boston. 

5. Strang, G. (2016). Introduction to linear algebra (5th ed.). Thomson Learning Inc

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

معادلات دیفرانسیل پاره‌ای

نام درس (انگلیسی):

Partial Differential Equations

دروس پیش‏نیاز:

معادلات دیفرانسیل

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

آنالیز ریاضی ۲

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف درس:

مطالعه هندسه دیفرانسیل موضعی و سرتاسری خم‌ها و رویه‌ها همراه با مطالبی تكمیلی از هندسه منیفلدها و آشنایی با برخی كاربردهای هندسه دیفرانسیل.

مباحث / سرفصل­ها:

1. آنالیز فوریه: معرفی و هم‌گرایی سری‌ فوریه، فرم‌های مثلثاتی و مختلط سری فوریه، مشتق و انتگرال فرم‌های مثلثاتی و مختلط سری فوریه، فرم‌های مثلثاتی و مختلط انتگرال فوریه، تبدیل فوریه و خواص آن، تبدیل فوریه مثلثاتی و خواص آن، بسط‌های متعامد.

2. نظریه اشتورم-لیوویل: فرم عملگری معادله اشتورم-لیوویل، انواع معادلات اشتورم-لیوویل (همگن، منظم، منفرد و غیرهمگن)، روش‌های حل معادلات اشتورم-لیوویل (مقادیر و توابع ویژه، سری فوریه، تابع گرین).

3. معادلات با مشتقات جزئی: تعاریف‌ اولیه‌ و معرفی‌ نمادها، منشأ ظهور معادلات دیفرانسیل‌ با مشتقات جزئی‌، آشنایی با مدل‌سازی برخی‌ از مسائل‌ فیزیکی‌ به کمک معادلات با مشتقات جزئی، دسته‌بندی انواع معادلات با مشتقات جزئی (هذلولوی، سهموی و بیضوی).

4. مشتقات جزئی‌ مرتبه‌ اول: روش‌های مشخصه‌ و لاگرانژ، روش‌های مشخصه‌ کوشی‌. 

5. معادله گرما: مدل‌سازی فیزیکی در بعد یک، حل به روش جداسازی متغیرها، یکتایی جواب، معادله گرمای ناهمگن، معادله گرما در طول یک میله نامتناهی، حل به روش تبدیل فوریه.

6. معادله لاپلاس: مدل‌سازی فیزیکی، یکتایی جواب، انواع روش حل (جداسازی متغیرها و تبدیل فوریه)، فرم قطبی معادله لاپلاس، معادله لاپلاس داخل و خارج دایره.

7. معادله موج: مدل‌سازی فیزیکی در بعد یک، انواع روش‌های حل (مشخصه‌، جداسازی متغیرها)، معادله موج در طول یک تار نیمه‌متناهی و نامتناهی، حل به روش دالامبر، معادله موج ناهمگن.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. حصارکی، م.، و فتوحی، م. (1389). معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی. مؤسسه انتشارات علمی، دانشگاه صنعتی شریف.

2. لوگان، ج. د. (2015). معادلات دیفرانسیل جزئی کاربردی. ترجمه: کیوان مهاجر و داود میرزائی (1396). انتشارات دانشگاه اصفهان.

3. Arrigo, D. (2023). An Introduction to Partial Differential Equations (2nd ed.). Springer.

4. Salsa, S., & Verzini, G. (2022). PDE in Action: From Modeling to Theory (4th ed.). Springer.

5. Sneddon, I. N. (1985). Elements of Partial Differential Equations. McGraw Hill.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

نظریه مقدماتی اعداد

نام درس (انگلیسی):

Introduction to Number Theory

دروس پیش‏نیاز:

مبانی ریاضی

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف کلی درس:

نظریه‌‌ اعداد یکی‌ از قدیمی‌ترین‌ و غنی‌‌ترین‌ شاخه‌های‌ ریاضیات است‌. درس نظریه‌‌‌‌ اعداد به‌‌عنوان اولین‌ درس در این‌ شاخه‌ سعی‌ دارد تا با پرهیز از پیش‌‌نیازهای‌ فراوان، به‌ توضیح‌ مسائل‌ کلاسیک‌ نظریه‌ی‌ اعداد بپردازد. این‌ درس دانشجویان را برای‌ درس‌های‌ پیشرفته‌تر در شاخه‌‌ نظریه‌‌ اعداد و همچنین‌ کاربردهای‌ اولیه‌ در رمزنگاری‌ و نظریه‌ کدگذاری‌ آماده می‌‌کند.

مباحث / سرفصل­ها:

1. بخش‌پذیری، الگوریتم‌ تقسیم‌، اعداد اول، قضیه‌ اساسی‌ حساب، بزرگ‌ترین‌ مقسوم‌علیه‌ مشترك، نمایش‌ خطی‌ و الگوریتم‌ اقلیدس، حل‌ معادله‌های‌ سیاله‌‌ خطی‌، توزیع‌ اعداد اول.

1. هم‌نهشتی و خواص مقدماتی آن، جمع و ضرب پیمانه‌ای، رده‌های مانده‌ای، بررسی خواص اساسی حلقه‌ رده‌های مانده‌ای و گروه ضربی ، قضیه‌ باقی‌‌مانده‌ چینی‌، معادلات هم‌نهشتی‌ خطی‌، لم‌ هنسل‌، معادله‌های‌ هم‌نهشتی‌ چندجمله‌ای‌.

2. هم‌نهشتی‌های‌ خاص: قضایای‌ ویلسون، فرما و اویلر، اعداد شبه‌ اول، اعداد کارمایکل‌.

3. توابع‌ حسابی‌ و‌ ضربی، تابع‌ فی‌ اویلر، مجموع و تعداد مقسوم‌علیه‌‌ها، اعداد تام و اول‌های‌ مرسن‌، ضرب دیریکله‌، تابع‌ وارون موبیوس.

4. مرتبه‌های جمعی و ضربی در ، مولدهای گروه ضربی (ریشه‌های اولیه).

5. مانده و نامانده درجه‌ی دوم و خواص‌ آن‌ها، محک اویلر، قانون تقابل مربعی، لم‌ گاوس، نمادهای‌ لژاندر و ژاکوبی‌ و محاسبه‌‌ آن‌ها.

1. کسرهای‌ مسلسل‌ متناهی‌ و نامتناهی‌، مسئله‌‌ تقریب‌ اعداد گنگ‌ به‌ کمک‌ اعداد گویا، کسرهای‌ مسلسل‌ تناوبی‌.

1. معادلات دیوفانتی و پل‌، سه‌تایی‌های‌ فیثاغورسی‌، نمایش‌ اعداد صحیح‌ به‌‌صورت مجموع مربع‌ها، نقاط گویای‌ خم‌های‌ درجه‌ دو.

2. کاربردها: کاربردها در رمزنگاری‌، رمزنگاری‌ RSA، پروتکل‌ دیفی‌ هلمان و دیگر کاربردها در کدگذاری‌ و علوم کامپیوتر.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. Burton, D. M. (2010). Elementary Number Theory. McGrew-Hill Education.

2. Ireland, K., & Rosen, M. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer.

3. Niven, I., Zuckerman, H. S., & Montgomery, H. L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers. Wiley.

4. Rosen, K. H. (2011). Elementary Number Theory. Pearson Education. London

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

هندسه دیفرانسیل مقدماتی

نام درس (انگلیسی):

Introduction to Differential Geometry

دروس پیش‏نیاز:

جبر‌ خطی 1

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

توپولوژی عمومی

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

64

0

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف درس:

مطالعه هندسه دیفرانسیل موضعی و سرتاسری خم‌ها و رویه‌ها همراه با مطالبی تكمیلی از هندسه منیفلدها و آشنایی با برخی كاربردهای هندسه دیفرانسیل.

مباحث / سرفصل­ها:

1. هندسه خم‌ها: هندسه موضعی خم‌ها در صفحه و فضا، فرم كانونی، قضایای مهم هندسه سرتاسری خم‌ها در صفحه و فضا، مطالب تكمیلی.

2. رویه‌ها: رویه‌های منظم، فضای مماس، جهت و مساحت، هندسه فرم اساسی اول، مطالب تكمیلی.

3. انحنای رویه‌ها: نگاشت گاوس، انحنای میانگین و انحنای گاوسی، هندسه فرم اساسی دوم، مطالب تكمیلی.

4. ژیودزیك‌ها: نگاشت نمایی، قضیه ایگرگیوم گاوس، انتقال موازی، مطالب تكمیلی.

5. مطالب تكمیلی: مطالبی از هندسه منیفلدها و كاربرد آن‌ها.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. Abbena, E., Gray, A., & Salamon, S. (2006). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces (3rd ed.). Chapman and Hall/CRC.

2. Carmo, M. P. (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces (2nd ed.). Prentice-Hall Inc.

3. Kuhnel, W. (2015). Differential Geometry: curves, surfaces and manifolds (3rd ed.). AMS.

4. Pressley, A. (2010). Elementary Differential Geometry (2nd ed.). Springer.

5. Shifrin, T. (2016). Differential Geometry: A first course in curves and surfaces. University of Georgia.

6. Tapp, K. (2016). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Springer.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

بهینه‌سازی خطی 

نام درس (انگلیسی):

 Linear Optimization 

دروس پیش‏نیاز:

-

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

جبر‌ خطی 1

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

۶۴

۰

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه ¢ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف درس:

بهینه‌سازی یکی از شاخه‌های بسیار مهم و کاربردی در علوم مختلف مانند ریاضیات کاربردی، مهندسی، اقتصاد، مدیریت و بازرگانی است. یکی از اساسی‌ترین مباحث و نظریه‌ها در این زمینه، نظریه بهینه‌سازی خطی است که با استفاده از مفاهیم عمیق ریاضی به کمینه یا بیشینه‌ کردن یک تابع خطی روی مجموعه جواب‌های یک دستگاه معادلات و نامعادلات خطی می‌پردازد.  مسائل بهینه‌سازی خطی پایه‌ای‌ترین مسائل در حوزه بهینه‌سازی هستند؛ به‌طوری‌که سایر حوزه‌ها (مانند بهینه‌سازی غیرخطی، بهینه‌سازی محدب، بهینه‌سازی صحیح و ترکیبیاتی و بهینه‌سازی چندهدفه) وام‌دار این حوزه از بهینه‌سازی هستند. بنابراین درک عمیق از مسائل بهینه‌سازی خطی و الگوریتم‌های مورد استفاده در این حوزه از نقطه نظر جبر خطی، نظریه ماتریس‌ها و آنالیز محدب، دغدغه‌ی ریاضی‌دانان در این شاخه‌ از ریاضیات كاربردی است كه در جهان پیچیده‌ی امروز به پیشرفت‌ها در سایر علوم کمک شایان توجهی می‌کند.

مباحث / سرفصل­ها:

1. مقدمه‌ای بر بهینه‌سازی: انواع مسائل بهینه‌سازی، اهمیت و کاربرد آن‌ها در مدل‌سازی، تعریف دقیق ریاضی از یک مسأله بهینه‌سازی خطی (LP)،  چگونگی تبدیل مسائل واقعی به مسائل بهینه سازیخطی، فرم‌های متعارف و استاندارد، تعریف جواب و حل هندسی.

2. آنالیز محدب: مجموعه‌های محدب، عملگرهای حافظ تحدب مجموعه، مفهوم پوسته خطی، پوسته محدب و پوسته آفین وارتباط آن‌ها با LPها، مفهوم بعد، چندوجهی‌ها، ابرصفحه‌ها، نیم‌فضا، اشعه، توابع محدب و خواص و اهمیت آن‌ها در بهینه‌سازی خطی، عملگرهای حافظ تحدب توابع، چندوجهی‌ها و نحوه به‌ دست آوردن آن‌ها، مفهوم و خواص نقاط رأسی و جهت‌های دورشونده (رأسی)، قضایای وجود نقطه رأسی برای چندوجهی‌ها، قضیه اساسی بهینه‌سازی خطی.

3. قضیه نمایش: معرفی، اثبات و کاربردهای آن، قضیه وجود جواب بهینه، شرایط لازم و کافی وجود جواب بهینه (نتایج قضیه نمایش)، قضیه نمایش برای مجموعه جواب‌های بهینه.

4. الگوریتم سیمپلکس و آنالیز هم‌گرایی آن: الگوریتم سیمپلکس، معیارهای بهینگی، بی‌کرانگی، واردشوندگی و خارج‌شوندگیمتغیرها، الگوریتم سیمپلکس با استفاده از جدول، اعتبار فرم جدولی الگوریتم، حل مثال‌های عددی با الگوریتم سیمپلکس، تفسیر الگوریتم سیمپلکس از سه دیدگاه مختلف (جبری، هندسیو اقتصادی)، قضیه نمایشبرای مجموعه جواب‌های بهینه دگرین، وجود جواب‌های بهینه دگرین و نحوه به ‌دست آوردن آن‌ها، تباهیدگی، قضیه هم‌گرایی الگوریتم سیمپلکس.

5. متغیرهای مصنوعی: متغیرهای مصنوعی و ضرورت استفاده از آن‌ها، اضافه کردن متغیرهای مصنوعی به یک مسئله بهینه‌سازی خطی، روش دو-مرحله‌ای (دو-فازی، روش M-بزرگ).

6. قضایای دگرین و قضایای بهینگی به همراه اثبات: آشنایی با قضایایدگرین و کاربردهای آن‌ها در آنالیز محدب، لم فارکاس و تعبیر هندسی آن، قضیه گردن و تعبیر هندسی آن، قضیه هندسی و قضیه جبری کاروش-کان-تاکر (KKT) برای به‌ دست آوردن شرایط بهینگی.

7. قضایای دوگان و تحلیل حساسیت به همراه اثبات: مفهوم دوگان، نحوه نوشتن دوگان یک مسئله بهینه‌سازی خطی،  قضیه دوگانی ضعیف و نتایج آن، قضیه دوگانی قوی، قضیه اساسی دوگانی، قضیه مکمل زائد ضعیف، قضیه مکمل زائد قوی، کاربردهای دوگان و شرایط مکمل زائدضعیف، اثبات قضایای دگرین با استفاده از دوگانی، روش سیمپلکس دوگان، محاسبه جواب‌های بهینه دوگان از روی جواب بهینه اولیه، تحلیل حساسیت، تعبیر اقتصادی دوگان و جواب‌هایبهینه دوگان، قیمت‌های سایه‌، حل دستگاه و ارتباط آن با بهینه‌سازی خطی، ارتباط بین تباهیدگی و دگرینگی اولیه و دوگان، پایداری واستواری.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی l گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. Bazaraa, M. S., Jarvis, J. J., & Sherali, H. D. (2009). Linear Programming and Network Flows (3rd ed.). Wiley.
2. Bertsimas, D., & Tsitsiklis, J. N. (1997). Introduction to Linear Optimization. Athena Scientific.

3. Murty, K. G. (1983). Linear Programming. Wiley.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

جبر خطی عددی

نام درس (انگلیسی):

Numerical Linear Algebra

دروس پیش‏نیاز:

جبر‌ خطی 1، مبانی برنامه‌سازی کامپیوتر 

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

۶۴

۰

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز):سفر علمی £ آزمایشگاه ¢سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف درس:

استفاده از روش‌های کلاسیک برای محاسبه دترمینان و وارون یک ماتریس و همین‌طور حل دستگاه معادلات خطی با روش‌های سنتی (به‌ویژه زمانی که ابعاد ماتریس ضرایب کمی بزرگ باشد) توجیه اقتصادی ندارد و ممکن است بسیار زمان‌بر باشد. بنابراین دانشجو باید با روش‌های عددی آشنا شود که نه تنها جواب‌های تقریبی رضایت‌بخشی تولید کنند، بلکه زمان محاسبات معقولی نیز داشته باشند. علاوه بر روش‌های مستقیم و تکراری متنوع، عدد وضعیت یک ماتریس، پایداری روش‌های مستقیم و هم‌گرایی روش‌های تکراری از جمله مفاهیمی هستند که دانشجو در این درس با آن‌ها آشنا می‌شود.  همچنین، پیاده‌سازی روش‌های عددی به‌کمک یک زبان برنامه‌نویسی مانند متلب در یک محیط عددی در قالب پروژه‌های متنوع الزامی است.

مباحث / سرفصل­ها:

1. حل دستگاه معادلات خطی: روش‌های مستقیم (روش حذف گاوسی، روش حذفی گاوس-جردن و روش‌های مبنی‌بر تجزیه ماتریسی)، روش‌های تکراری (روش ژاکوبی، روش گاوس-سایدل و روش تخفیف متوالی).

2. روش‌های با هزینه محاسباتی کم برای محاسبه دترمینان و وارون یک ماتریس.

3. بررسی مسئله ویژه‌مقدار: روش توانی، روش ژاکوبی، روش گیونز، روش LR و روش QR.

4. بررسی مسئله تجزیه مقدار تکین و مسئله کمترین مربعات.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی l گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. مختاری، ر. و رشیدی، م. (1402). جبر‌ خطی عددی (چاپ دوم). مرکز نشر دانشگاه صنعتی اصفهان.

2. Burden, R. L., Faires, D. J., & Burden, A. A. (2016). Numerical analysis (10th ed.). Cengage Learning.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

دستگاه‌های دینامیکی مقدماتی

نام درس (انگلیسی):

Elementary  Dynamical Systems

دروس پیش‏نیاز:

آنالیز ریاضی  ۲

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

۶۴

۰

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف درس:

برای متخصصین بسیاری از علوم، به‌خصوص فیزیک و مهندسی، لزوم شناخت نظریه و رفتارهای کیفی (دینامیک‌های) مدل‌های مربوط به پدیده‌های در حال تکرار با زمان‌های گسسته (ماه، فصل، سال و ...) روشن است. از سوی دیگر یک روش بررسی رفتارهای برخی جواب‌های معادلات دیفرانسیل، استفاده از دستگاه‌های دینامیکی زمان-گسسته است. بنابراین به‌طور خاص برای یک دانشجوی رشته ریاضی ضروری است که با مبانی نظری و کاربردهای دستگاه‌های دینامیکی زمان-گسسته آشنا شود. همچنین هم‌تراز با بسیاری از دانشگاه‌های مطرح دنیا، ارائه یک درس برای آموزش مبانی دستگاه‌های دینامیکی زمان-گسسته به‌عنوان یکی از شاخه‌های پر اهمیت ریاضی لازم است.

مباحث / سرفصل­ها:

1. معرفی دستگاه‌های دینامیکی گسسته به‌صورت نگاشت‌ها و معادلات تفاضلی، برخی مدل‌های جمعیتی به‌عنوان دستگاه‌های دینامیکی گسسته، روابط بین معادلات دیفرانسیل و دستگاه‌های دینامیکی گسسته، معرفی دستگاه‌های دینامیکی به‌عنوان یک سه‌تایی به همراه مونویید‌های زمانی.

2. معرفی برخی نگاشت‌های مهم به‌عنوان دستگاه‌های دینامیکی گسسته مثل نگاشت لجستیک و نگاشت خیمه، نگاشت‌های دایره‌ای. 

3. مدار، نقاط ثابت و نقاط تناوبی، پایداری نقاط ثابت و تناوبی، قضیه شارکوسکی.

4. بررسی کامل نگاشت‌های مربعی شامل نقاط ثابت و نقاط تناوبی و دامنه جذب آن‌ها و معرفی انشعاب‌های مضاعف‌ساز دوره تناوب.

5. تعریف آشوب از دیدگاه دیوینی و استقلال شرایط آن، نگاشت‌های مزدوج، مجموعه‌های کانتور، دینامیک‌های نمادین، اثبات آشوب برای نگاشت اولام و نگاشت‌های لجستیک با پارامتر بزرگتر از 4.

6. نگاشت‌های چندبعدی همراه با پایداری نقاط ثابت، قضیه هارتمن-گروبمن، قضیه منیفلدهای پایدار و ناپایدار و مرکزی.

7. نگاشت‌های انتقال دو طرفه، نگاشت نعل اسب و اثبات آشوب برای آن، نگاشت هنون و ویژگی‌های آن، خودریختی‌های چنبره‌ای هذلولوی.

8. انشعاب‌های گره-زینی، تبادل پایداری، چنگال و مضاعف‌سازی دوره تناوب.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی l گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. Alligood, K. T., Sauer, T.D., & Yorke, J. A. (1996). Chaos: An Introduction to dynamical systems. Springer.
2. Devaney, R. L. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (2nd ed.). Addison-Wesley. Redwood City. Canada.
3. Elaydi. S. (2007). Discrete Chaos: with Applications in Science and Engineering. (2nd ed.). Chapman and Hall/CRC. Boca Raton.
4. Hasselblatt, B., & Katok, A. (2003). A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments. Cambridge University Press.
5. Katok, A., & Hasselblatt, B. (1996). Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems (2nd ed.). Cambridge University Press.
6. Robinson, C. (1995). Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. CRC Press.

7. Sundbye, L. (2018). Discrete Dynamical Systems, Chaos Theory and Fractals. CreateSpace Independent Publishing.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

نظریه مقدماتی معادلات دیفرانسیل

نام درس (انگلیسی):

Elementary Theory of Differential Equations 

دروس پیش‏نیاز:

آنالیز ریاضی ۲، معادلات دیفرانسیل

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

۶۴

۰

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف از این‌ درس آشنایی‌ دانشجویان با نظریه‌ معادلات دیفرانسیل‌ عادی‌ و کاربردهای‌ آن است‌.

مباحث / سرفصل­ها:

1. دستگاه‌های یک‌بعدی (معادلات مرتبه اول): قضیه‌ وجود و یکتایی‌، بازه ماکزیمال وجود جواب، معرفی معادلات خودگردان و غیرخودگردان، مفهوم یک دستگاه دینامیکی زمان-پیوسته، مفهوم جریان، مفهوم مدار، مفهوم نقطه تعادل، رسم نمای فاز، تعریف پایداری نقاط تعادل، روش خطی‌سازی برای پایداری نقاط تعادل، مجموعه‌های آلفا حدی و امگا حدی.

2. دستگاه‌های خطی: معرفی تابع نمایی از یک ماتریس مربعی و شرایط هم‌گرایی سری توانی مربوطه، معرفی دستگاه‌های خطی و قضیه بنیادی جواب آن‌ها، محاسبه ماتریس اساسی جواب در بعد دو از طریق فرم ژردن، معرفی مجموعه‌های ناوردا دستگاه‌های دو بعدی و رسم نمای فاز آن‌ها، معرفی تنوع حالات نقطه تعادل مبدأ، معرفی مجموعه‌های پایداری و ناپایداری، انواع هم‌ارزی دستگاه‌های خطی.

3. دستگاه‌های چندبعدی: قضیه‌ وجود و یکتایی‌، وابستگی پیوسته به شرایط اولیه، وابستگی پیوسته به پارامترها، روش خطی‌سازی برای پایداری نقاط تعادل، نقاط تعادل هذلولوی و غیرهذلولوی، قضیه هارتمن-گروبمن،  تنوع حالات نقاط تعادل، پایداری لیاپانوف، معرفی منیفلدهای پایداری و ناپایداری و مرکزی (همراه با قضیه مربوطه)، دستگاه‌های گرادیانی، دستگاه‌های همیلتونی.

4. انشعابات گره-زینی، تبادل پایداری و چنگال.
5. جواب‌های تناوبی: معیار بندیکسون، قضیه پوانکاره-بندیکسون و کاربردها.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. Guckenheimer, J., & Holmes, Ph. (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer.

2. Hale, J. K., & Kocak, H. (1996). Dynamics and Bifurcations. Springer.

3. Hirsch, M., Smale, S., & Devaney, R. L. (2013). Differential Equations, Dynamical Systems and An Introduction to Chaos (3rd ed.). Elsevier.

4. Perko, L. (2006). Differential Equations and Dynamical Systems. Springer.

5. Verhulst, F. (1996). Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Springer.

6. Wiggins, S. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Springer.

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

رمزنگاری

نام درس (انگلیسی):

Cryptography

دروس پیش‏نیاز:

مبانی برنامه‌سازی کامپیوتر 

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع

¢ اصلی و تخصصی 

نظری - عملی £

۴

۰

۴

£ اختیاری

عملی / آزمایشگاهی £

تعداد ساعت:

۶۴

۰

۶۴

£ پروژه / پایان­نامه / رساله

کارگاهی / عملیات میدانی £

£ مهارتی-اشتغال پذیری

کارورزی / کارآموزی £

آموزش تکمیلی عملی (در صورت نیاز): سفر علمی £ آزمایشگاه £ سمینار £ کارگاه £ موارد دیگر: ۱۶ ساعت حل تمرین

هدف درس:

رمزنگاری یک شاخه مهم بین رشته‌ای همراه با کاربردهای زیاد امروزی در دنیای اطلاعات است. بررسی و فهم دقیق مباحث و موضوعات این شاخه، مستلزم مطالعه دقیق در ریاضیات مرتبط با رمزنگاری است. هدف این درس آشنایی با ایده‌های اصلی و روش‌های به‌کاررفته در رمزنگاری است. این درس برای دانشجویان کارشناسی ریاضیات و کاربردها طراحی شده است. لازم به ذکر است که به‌عنوان درس میان رشته‌ای برای دانشجویان کارشناسی علوم کامپیوتر، مهندسی کامپیوتر و مهندسی برق نیز مناسب است.

مباحث / سرفصل­ها:

1. آشنایی با رمزنگاری، ریاضیات رمزنگاری، جبر مجرد، گروه‌های متناهی، میدان‌های متناهی.

2. نظریه اعداد، محاسبات پیمانه‌ای، تست اول بودن، تجزیه اعداد، مسئله لگاریتم گسسته، خم‌های بیضوی، مشبکه‌ها.

3. احتمال، پارادوکس روز تولد، رمزهای تاریخی، اصول اولیه رمزنگاری مدرن، الگوریتم‌های رمز مدرن، الگوریتم‌های رمز متقارن، امنیت نظریه اطلاعاتی، رمزهای جریانی، الگوریتم‌های تولید عدد شبه تصادفی، ثبات انتقالی بازخورد خطی.

4. رمزهای قالبی، الگوریتم رمز DES، الگوریتم رمز AES، تحلیل رمز، تحلیل‌ رمز خطی و تفاضلی.

5. الگوریتم‌های رمز نامتقارن، مسائل سخت محاسباتی در رمزنگاری، الگوریتم رمز RSA، تبادل کلید دیفی-هلمن، الگوریتم رمز الجمال، رمزنگاری خم‌های بیضوی.

6. پیاده‌سازی كارای الگوریتم‌های رمزنگاری، پیچیدگی محاسباتی الگوریتم‌های رمزنگاری، توابع درهم‌ساز.

7. تصدیق اصالت و صحت داده‌ها، كدهای تصدیق اصالت پیام، امضای دیجیتال، پروتكل‌های رمزنگاری، پروتكل‌های تبادل كلید، پروتكل‌های امضای قرارداد، پروتكل‌های تصدیق اصالت، رأی‌گیری الکترونیکی.

روش یاددهی:

سخنرانی  l مباحثه ¡ بازدید ¡ پژوهش ¡ تمرین و تکرار l مطالعه موردی ¡ آزمایش و ساخت ¡ و ...

روش ارزشیابی:

امتحان کتبی l پروژه عملی ¡ گزارش ¡ آزمونک کلاسی l ارائه کلاسی ¡ و ...

منابع درسی: 

1. Hoffstein J., Pipher J., & Silverman, J. H. (2014). An Introduction to Mathematical Cryptography (2nd ed.). Springer.

2. Katz, J., & Lindell, Y. (2021). Introduction to Modern Cryptography (3rd ed.). Chapman & Hall/CRC.

3. Paar, C., & Pelzl J. (2010). Understanding Cryptography: A Textbook for Students and Practitioners. Springer.

4. Smart, N. P. (2016). Cryptography Made Simple. Springer. 

5. Stinson, D. R., & Paterson, M. B. (2019). Cryptography: Theory and Practice (4th ed.). CRC Press

ملزومات، تجهیزات و امکانات مورد نیاز:

تابلو و ویدیو پرژکتور

مقطع و نام رشته­گرایش:

کارشناسی ریاضیات و کاربردها

نام درس (فارسی):

کدگذاری

نام درس (انگلیسی):

Coding

دروس پیش‏نیاز:

احتمال و کاربرد آن، جبر‌ خطی 1

نوع واحد

دروس هم‏نیاز:

-

£پایه

نظری ¢

تعداد واحد:

نظری

عملی

جمع