نظریه گالوا
ضرورت ارائه‌ی درس
قضیه‌ی اساسی گالوا یکی از مهمترین قضایای جبری است که در درس نظریه‌ی گالوا بیان و اثبات می‌شود. این قضیه پل ارتباطی میان نظریه‌ی گروهها و نظریه‌ی میدانها است. با توجه به این گفته، اهمیت این درس برای دانشجو از چندین منظر است: نخست دانشجو فرصتی می‌یابد تا دانش جبری خود، در نظریه‌ی گروهها و در نظریه‌ی میدانها را بسط دهد و آنچه در درس مبانی جبر فرا گرفته است مروری کاربردی کند. دوم، دانشجو با برخی مسائل کلاسیک ریاضیات در ارتباط با امکان ترسیم توسط خطکش و پرگار و رویکرد جبری بدین مسائل آشنا خواهد شد. سوم، در این درس دانشجو اثبات قضیه‌ی اساسی جبر (یعنی قضیه‌ای که بیانگر این است که همه‌ی چندجملهایها در میدان اعداد مختلط ریشه دارند) را فرا خواهد گرفت. آشنائی با نظریه‌ی گالوا در تقویت پایه‌ی جبری دانشجویان و سوق دادن به سمت موضوعات جبری در تحصیلات تکمیلی نقش موثری خواهد داشت.
شرح درس:
مرور قضایای سیلو در نظریه‌ی گروهها، حلقه‌ها، زیرحلقه‌ها، ایده‌آلها، همومرفیسمها، میدانهای خارجقسمتی و حوزه‌های صحیح، مشخصه‌ی میدان، حوزه‌های اقلیدسی و تجریه‌ی یکتا، چندجملهایهای تحویل‌ناپذیر، توسیعهای میدانها، درجه‌ی توسیع، ترسیم‌های توسط خطکش و پرگار، میدانهای متناهی، گروه‌های گالوا، اتومرفیسمهای میدانی و گروه‌های اتومرفیسمها، توسیع نرمال، توسیع جداشدنی، قضیه‌ی اساسی نظریه‌ی گالوا، اثبات قضیه‌ی اساسی جبر با استفاده از نظریه‌ی گالوا، درجه‌ی و پایه‌ی تعالی، حدس شانوئل، اثبات متعالی بودن برخی اعداد گنگ، گروه‌های بازگشتی، گروه‌های حل‌شدنی.
آنالیز ریاضی ۲
ضرورت ارائه‌ی درس
این درس از دو مبحث انتگرال ریمان-اشتیلیس و دنباله‌ها و سری‌های تابعی تشکیل شده است. در بحث اول، انتگرال ریمان-اشتیلیس به عنوان یک تعمیم طبیعی انتگرال ریمان مطرح می‌شود. کاربرد اصلی این مفهوم در مباحثی شامل نظریه احتمال است. در این ساختار قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال با بیانی سازگار با آن بیان و اثبات می‌شود. در نهایت، شرط لبگ برای انتگرال پذیری ریمان دیدگاهی موثر در مورد توابعی که انتگرال‌پذیر ریمان هستند به دست می‌دهد. در بخش دوم دنباله‌های و سری‌های تابعی و انواع همگرایی آنها معرفی می‌شود. این بحث در ساختن توابعی با ویژگی‌های مشخص بسیار مهم است. یکی از موارد استفاده مباحث اخیر در دروس معادلات دیفرانسیل عادی و پاره‌ای است. سری‌های توانی و فوریه به عنوان حالت خاصی از سری‌های تابعی قابل بحث و تجزیه و تحلیل خواهند بود.
شرح درس
انتگرال ریمان-اشتیلیس نسبت به یک انتگرال‌گیر صعودی، انتگرال‌های بالا و پایین، انتگرال‌پذیری نسبت به یک انتگرال‌گیر صعودی، شرط ریمان برای انتگرال‌پذیری، خواص انتگرال ریمان-اشتیلیس، توابع با تغییر کراندار، انتگرال ریمان-اشتیلیس نسبت به توابع با تغییر کراندار، انتگرال‌گیرهای مشتق‌پذیر، قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال، محک لبگ برای انتگرال‌پذیری ریمان، مجموعه‌های با اندازه صفر، دنباله‌های تابعی، همگرایی نقطه‌وار و همگرایی یکنواخت، همگرایی یکنواخت و پیوستگی، مشتق‌پذیری و انتگرال‌پذیری، قضیه تقریب وایراشتراس، جبر توابع، قضیه اشتون-وایراشتراس، خانواده توابع هم‌پیوسته، لم آرزلا-آسکولی، سری‌های تابعی، آزمون M وایراشتراس، آزمون آبل برای همگرایی یکنواخت سری تابعی، سری‌های توانی، شعاع همگرایی، سری فوریه.
ریاضی گسسته
ضرورت ارائه‌ی درس
هدف اصلی این درس آشنا نمودن دانشجویان با مفاهیم اصلی و پایه ای در ترکیبیات و ریاضیات گسسته است به نحوی که در عین آشنایی با این مفاهیم با کاربردها و انگیزه های اصلی که در علم ترکیبیات وجود دارد آشنا شده و با برخی مسائل اصلی آن نیز روبه‌رو شوند. در این راستا و با توجه به محتوی و نوع این درس، اهداف دیگری نیز می‌توانند در این درس پیگیری شوند که عبارتند از:
الف) تمرین ارائه استدلال‌های دقیق ریاضی و انواع مختلف آنها (نظیر: استقراء ریاضی، برهان خلف و ...)
ب) آشنایی با استدلال‌های ترکیبیاتی (نظیر: استدلال‌های مبتنی بر شمارش، وضعیت بحرانی،...)
ج) آشنایی با ساختارهای مختلف گسسته (نظیر: مجموعه‌های متناهی، روابط متناهی، ماتریس‌ها، گراف‌ها، مربع‌های لاتین و...)
د) تمرین ارائه استدلال‌های مبتنی بر تفکر الگوریتمیک و آشنایی با الگوریتمهای مختلف درحوزه ترکیبیات.
شرح درس
روش‌های شمارش، اصول اساسی شمارش، اصل لانه کبوتری، شمارش دوگانه، جایگشت‌ها و ترکیب‌ها، ضرایب دوجمله‌ای، اصل شمول و عدم شمول، روابط بازگشتی، روش‌های حل روابط بازگشتی، توابع مولد معمولی و نمایی، ماتریس‌ها، ماتریس‌ها از دیدگاه ترکیبیاتی، برخی خواص مهم ماتریس‌های صفر و یک، معرفی مفاهیم اولیه نظریه گراف و مدل‌های مبتنی بر آنها، معرفی مفهوم گراف با تأکید بر کاربردهای آن در مدل‌سازی، آشنایی با مفاهیم اصلی نظریه گراف، درجه، دنباله درجه، انواع اصلی گراف نظیر دور، مسیر، گراف‌های کامل، درخت‌ها، گراف‌های دوبخشی، گراف‌های اویلری و هامیلتونی، گراف‌های جهت‌دار و تورنمنت‌ها، تطابق‌های کامل و ماکزیمم، رنگ‌آمیزی گراف‌ها، گراف‌های مسطح، مربع‌های لاتین، طرح‌ها و هندسه‌های متناهی، تعاریف و مفاهیم اصلی با تأکید بر ارتباط این مفاهیم، ارائه مثال و کاربرد در مربع های لاتین و چند کاربرد، سیستم‌های نمایندگی متمایز (SDR)، قضیه فیلیپ هال.
توپولوژی جبری مقدماتی
ضرورت ارائه‌ی درس
توپولوزی جبری یکی از گرایش های نسبتاَ جدید در ریاضی است که در قرن اخیر بعنوان ابزاری در حل مسائل بازِ شاخص در ریاضی کاربرد فراوان یافته است. این مطلب تا جایی اهمیت یافته است که مفاهیم آن حتی در شاخه‌ای از ریاضیات گسسته یعنی گراف و ترکیبیات وارد شده است و برای حل مسائل این شاخه نیز مورد استفاده قرار گرفته است. لازم به ذکر است که گراف و ترکیبیات نه تنها در علوم ریاضی بلکه در رشته هایی از علوم مهندسی نظیر برق و کامیوتر بواسطه کارایی آن طرفداران زیادی دارد. بنابراین ارائه این درس در مقطع کارشناسی علاوه بر اینکه قدمی در به روز رسانی سیستم آموزشی دانشکده علوم ریاضی است، زمینه آشنایی دانشجویان علاقمند را به این گرایش فراهم می‌سازد.
شرح درس:
هموتوپی، هموتوپی توابع، بررسی خواص هموتوپی توابع ، فضاهای هم‌ارز هموتوپی، هموتوپی مسیری، هموتوپی مسیری بعنوان یک رابطه هم‌ارزی، فضای توپولوژی همراه با رابطه هم‌ارزی هموتوپی مسیری بعنوان یک شبه گروه، گروه بنیادی، تعیین گروه بنیادی فضاهای ساده، فضای پوششی و قضایای مربوط به آن، ترفیع مسیری و قضایای مورد نیاز ، تعیین گروه بنیادی دایره به کمک قضایای ترفیع مسیری ، نتایج حاصل از گروه بنیادی دایره نظیر نقطه ثابت برآور، تمایز دایره با کره‌های با بعد بیشتر از یک، تمایز صفحه دو بعدی با فضاهای حقیقی با بعد بالاتر از دو، قضیه اساسی جبر، قضیه برسوک-اولام، گروه بنیادی فضاهای حاصلضرب.
دستگاههای دینامیکی گسسته
ضرورت ارائه‌ی درس
برای متخصصین بسیاری از علوم، به خصوص فیزیک و مهندسی، لزوم شناخت نظریه و رفتارهای کیفی (دینامیک‌های) مدل‌های مربوط به پدیده‌های در حال تکرار با زمان های گسسته (ماه، فصل، سال و ...) روشن است. از سوی دیگر یک روش بررسی رفتارهای برخی جواب‌های معادلات دیفرانسیل استفاده از دستگاههای دینامیکی زمان-گسسته است. بنابراین به طور خاص برای یک دانشجوی رشته ریاضی ضروریست تا با مبانی نظری و کاربردهای دستگاههای دینامیکی زمان-گسسته آشنا شود. همچنین همتراز با بسیاری از دانشگاه‌های مطرح دنیا، ارائه یک درس برای آموزش مبانی دستگاههای دینامیکی زمان-گسسته به عنوان یکی از شاخه‌های پر اهمیت ریاضی لازم است.
شرح درس
معرفی دستگاههای دینامیکی گسسته به صورت نگاشت‌ها و معادلات تفاضلی، برخی مدل‌های جمعیتی به عنوان دستگاههای دینامیکی گسسته، روابط بین معادلات دیفرانسیل و دستگاههای دینامیکی گسسته، معرفی برخی نگاشت‌های مهم دستگاههای دینامیکی گسسته مثل نگاشت لجستیک و نگاشت خیمه، نگاشت‌های دایره‌ای، مدار، نقاط ثابت و نقاط تناوبی، پایداری نقاط ثابت و تناوبی، بررسی کامل نگاشت‌های مربعی شامل نقاط ثابت و نقاط تناوبی و دامنه جذب آنها و معرفی انشعاب‌های مضاعف‌ساز دوره تناوب، قضیه شارکوسکی، تعریف آشوب از دیدگاه دیوینی و استقلال شرایط آن، نگاشت‌های مزدوج، مجموعه‌های کانتور، دینامیک‌های نمادین، اثبات آشوب برای نگاشت اولام و نگاشت‌های لجستیک با پارامتر بزرگتر از ۴، نگاشت‌های چند بعدی همراه با پایداری نقاط ثابت، قضیه هارتمن-گروبمن، قضیه منیفلدهای پایدار و ناپایدار و مرکزی، نگاشت‌های انتقال دو طرفه، نگاشت نعل اسب و اثبات آشوب برای آن، نگاشت هنون و ویژگی‌های آن، خودریختی‌های چنبره‌ای هذلولوی، انشعاب‌های گره زینی، تبادل پایداری، چنگال و مضاعف‌سازی دوره تناوب.
آنالیز عددی ۱
ضرورت ارائه‌ی درس
بسیاری از پدیده‌ها در علوم و مهندسی شامل حل مسایلی است که یافتن جواب آنها با روش‌های متداول امکان‌پذیر نیست یا بسیار پیچیده است. این در صورتی است که جواب این مسایل وجود دارد و اهمیت زیادی برای کاربران دارد. مثال‌های ملموس در این مورد یافتن ریشه‌‌ها و محاسبه مقدار انتگرال معین توابع است که به وفور در حل مسایل کاربردی مشاهده می‌شوند. ضرورت یافتن راهکارهایی برای یافتن جواب این مسایل زمانی روشن‌تر می‌شود که با حجم بالایی از این مسایل به ویژه در ابعاد بالا روبرو هستیم. ایده‌های اصلی برای حل این‌گونه مسایل در این درس مورد بحث قرار می‌گیرند. از دیدگاه تاریخی اگرچه برخی از این ایده‌ها سابقه‌ای بسیار طولانی دارند، معمولا همگام با ایجاد و توسعه کامپیوترها شکل گرفته و تکمیل شده‌اند. در واقع برای حل یک مساله و پیاده‌سازی آن در کامپیوتر باید آن را گسسته سازی کرده و الگوریتمی برای یافتن جواب تقریبی آن مساله طراحی کرد. بنابراین میتوان آنالیز عددی را علم طراحی الگوریتم برای حل مسایل دانست به‌طوری که جواب حاصل شده تقریب مناسبی از جواب تحلیلی مساله باشد. امروزه یک درس آنالیز عددی با اندکی تفاوت درسرفصل‌هایی که در ادامه می‌آید، در دوره کارشناسی تمام دانشگاه‌های معتبر دنیا ارایه شده و گذراندن یک درس اجباری در آنالیز عددی از ضروریات دوره کارشناسی محسوب می‌شود.
شرح درس
منابع خطا، ساختار نمایش اعداد در کامپیوتر به صورت ممیز شناور و خصوصیات آن، انتشار خطا در محاسبه توابع، خوش وضعی مساله و پایداری یک الگوریتم، نحوه تقریب توابع با استفاده از بسط تیلور و برآورد خطای آن، وجود و یکتایی ریشه معادلات غیر خطی، روش دو بخشی، روش نابه‌جایی، روش تکرار نقطه ثابت، روش نیوتن- رافسون، روش وتری، همگرایی، تعبیر هندسی، برآورد خطا و معیارهای توقف این روش‌ها، مرتبه همگرایی و ریشههای چندگانه، الگوریتم هورنر و روش نیوتن برای یافتن ریشههای چندجملهایها، برون‌یابی آیتکن، مساله درونیابی، وجود و یکتایی، درونیابی به روش لاگرانژ، خطای درونیابی، روش تفاضلات تقسیم شده نیوتن، روش‌های تفاضلات پیشرو و پسرو برای نقاط با فاصله مساوی، مثال نقض رونگه، درونیابی بر اساس ریشههای چندجملهایهای چبیشف و برآورد خطای آن، اشاره به درونیابی هرمیت، اسپلاین خطی و اشاره به اسپلاین‌های مکعبی، روش‌های کمترین مربعات گسسته و پیوسته برای برازش چندجملهایها، روش‌های ذوزنقه‌ای، سیمپسون، نقطه میانی و یافتن فرمول خطای این روش‌ها، درجه دقت یک قاعده انتگرال‌گیری، فرمول‌های انتگرال‌گیری نیوتن کاتس، انتگرال‌گیری گاوسی، برون‌یابی ریچاردسون و قاعده انتگرال‌گیری رامبرگ، مشتق‌گیری عددی و بررسی مرتبه همگرایی و درجه دقت آنها با استفاده از بسط تیلور و درونیابی، ناپایداری در مشتق‌گیری عددی، پیاده سازی الگوریتم‌ها با نرم افزار متلب.
هندسه جبری مقدماتی
ضرورت ارائه‌ی درس
درس هندسه جبری یکی زیباترین و فعال‌ترین شاخه‌های ریاضی محسوب می‌شود که با توجه به طبیعت بین رشته‌ای آن امکان درک بهتر مفاهیم جبری و هندسی را فرآهم می‌کند. از طرفی با توجه به اینکه این درس مبتنی بر روش‌های محاسباتی ارائه می‌شود به درک بهتر دانشجویان از مفاهیمی مانند الگوریتم و پیچیدگی محاسباتی کمک می‌کند.
شرح درس:
یادآوری مفاهیمی مانند گروه، حلقه، میدان و ایده‌آل، ساختار میدانهای متناهی، حلقه چندجملهای های تک‌متغیره، الگوریتم تقسیم، الگوریتم محاسبه ب.م.م.، حلقه چندجملهایهای چندمتغیره، حلقه خارجقسمتی، ایده‌آل تک‌جمله‌ای، لم دیکسون، ترتیب تک‌جمله‌ای، الگوریتم تقسیم در حلقه چندجملهایهای چندمتغیره، پایه گربنر، قضیه پایه‌ای هیلبرت، خواص پایه گربنر، محک بوخبرگر، الگوریتم بوخبرگر، چندگونای آفین، ایده‌آل یک چندگونا، ایده‌آل حذفی، نظریه حذف، حل دستگاه معادلات چندجملهای، قضیه‌های ضعیف و قوی صفرسازهای هیلبرت، قضیه مکالی، بعد ایده‌آل، توپولوژی زاریسکی، قضیه بستار، کاربردهای پایه گربنر در صریح‌سازی، قضیه تابع معکوس، نظریه اعداد و برنامه‌ریزی خطی
توپولوژی
ضرورت ارائه‌ی درس
توپولوژی از مطالعه عمیق‌تر مفاهیم حساب دیفرانسیل و انتگرال و فضاهای متریک پدید آمده است. تلاش‌ها برای دقیق‌تر کردن استدلال‌هایی که توسط نیوتن و لایب‌نیتز ارائه شده بودندو بر پایه شهود هندسی استوار بودند منجر به تعریف دقیق حد، صورت بندی آزمون‌های همگرایی برای سری‌ها و تعریف دقیق پیوستگی توابع گردید. با ارائه تعریف مجموعه توسط کانتور، این مفاهیم به صورتی مجرد پایه‌های اولیه توپولوژی را بنا نهاد. امروزه مطالعه توپولوژی به عنوان یک درس، علاوه بر اینکه به خودی خود جالب توجه است، پایه‌های مطالعه عمیق‌تر در حداقل نیمی از شاخه‌های ریاضی، از جمله هندسه، آنالیز ریاضی و توپولوژی جبری را فراهم می‌آورد.
شرح درس
فضاهای توپولوژیک، مجموعه‌های باز و بسته، همسایگی یک نقطه، نقطه درونی و نقطه حدی، بستار یک مجموعه، پایه و زیر پایه برای یک توپولوژی، فضای تفکیک‌پذیر، فضاهای شمارای نوع اول و دوم، فضای هاسدورف، توابع پیوسته، نگاشت باز، فضای حاصل‌ضربی، قضیه تیخونوف و برخی کاربردهای آن مانند فشرده سازی اشتون-چک، نشاندن و همسانریختی، فضای خارجقسمتی و نگاشت خارجقسمتی، فشردگی و همبندی، اصول جداسازی، فضای منظم، فضای نرمال، لم اوریسون، فضاهای متری، قضایای متر پذیری و فرافشردگی، فضاهای متریک کامل، فضاهای تابعی، قضیه اسکولی.
منطق ریاضی
ضرورت ارائه‌ی درس
درس منطق ریاضی، اهمیتی فراتر از یک درس در دانشکده‌ی ریاضی دارد. در این درس، قضایایی بیان و اثبات می‌شوند که نه تنها در تقویت پایه‌ی ریاضی دانشجویان نقش دارند، بلکه در نگاه فلسفی آنها به علم و زندگی نیز تأثیرگذارند. مهمترین این قضایا، قضایای تمامیت و ناتمامیت گودل هستند که اهمیت آنها ریاضیات قرن بیستم را تحت تأثیر خود قرار داده است. این قضایا نه تنها بر سیستم‌های فکری ریاضی، بلکه بر تمامی سیستم‌های تفکر بشری قابل اعمال هستند و درکشان در هیچ واحد درسی، غیر از منطق ریاضی امکان‌پذیر نیست. در راستای آشنا شدن با قضایای ذکر شده، دانشجو در درس منطق ریاضی فرصتی می‌یابد تا آشنائی عمیق‌تری با مبانی اصول موضوعه‌ای ریاضی پیدا کند و محدودیتها و مزایای آنها را بشناسد. در واقع هر آنچه در درس مبانی ریاضی، به صورت گذرا و غیر دقیق به دانشجو تدریس می‌شود، در درس منطق ریاضی به صورت عمیق‌تر به او انتقال می‌یابد. دانشجو همچنین در این درس با مفاهیمی مانند درستی، اثبات‌پذیری و استنتاج، به همراه مفاهیمی مانند تصمیم‌پذیری و الگوریتم به دقیق‌ترین صورت آشنا می‌شود. نیز در بخش‌هائی از این درس دانشجو با برخی تکنیکهای منطقی آشنا خواهد شد که او را در فهم سایر دروس دانشکده مانند جبر و آنالیز تواناتر می‌کنند.
شرح درس
مروری بر منطق گزاره‌ها، اثباتی از قضیه‌ی فشردگی درمنطق گزاره‌ها به صورت منطقی یا توپولوژیک، منطق مرتبه‌ی اول، ساختارهای مرتبه‌ی اول و همومرفیسمها، درستی و استنتاج، دستگاههای مختلف استنتاجی مانند دستگاه هیلبرت و دستگاه حساب رشته‌ای، قضیه‌ی درونیابی، قضیه‌ی درستی و تمامیت گودل، نظریه‌ی مدل مقدماتی شامل قضایای فشردگی، لونهایم ــ اسکولم، حذف سور، آنالیز نااستاندارد، اثبات قضیه‌ی فشردگی با استفاده از فرافیلترها، نتایج ریاضیاتی قضیه‌ی فشردگی، محاسبه‌پذیری و بازگشتی بودن، تز چرچ ـ تورینگ، قضیه‌ی ناتمامیت گودل در حساب یا در نظریه‌ی مجموعه‌ها، مبانی نظریه‌ی پیچیدگی و مسأله‌ی پی در برابر ان‌پی.
توابع مختلط
توابع مختلط
ضرورت ارائه‌ی درس
با ابداع دستگاه اعداد مختلط در اوایل قران بیستم، مفاهیم اصلی حسابان توابع یک متغیره حقیقی، یعنی مشتق و انتگرال، برای توابع مختلط، یعنی توابعی که دامنه و برد آنها زیرمجموعه‌ای از اعداد مختلط است، مورد بررسی قرار گرفت. با توجه به قابلیت‌هایی که این دسته از توابع ایجاد میکردند، خیلی سریع این شاخه از ریاضیات به عنوان یکی از ابزارهای قدرتمند در شاخه‌هایی از ریاضی همانند نظریه اعداد، هندسه جبری و فراکتال‌ها مورد استفاده قرار گرفت. در سایر رشته‌ها نیز ابزار توابع مختلط توانایی بسیار خوبی از خود نشان داده، در مباحثی چون هیدرودینامیک و مکانیک کوانتم در فیزیک یا مباحث کنترل و مخابرات در مهندسی برق به کار گرفته شد. بر این اساس، آشنایی مقدماتی با مفاهیم مورد نیاز در این شاخه از ریاضیات برای دانشجویان کارشناسی ریاضی کاملا ضروری است.
شرح درس
دستگاه اعداد مختلط، اعمال جبری، فدر مطلق، مزدوج، نمایش قطبی اعداد مختلط، ریشههای اعداد مختلط، مفاهیم توپولوژیک مانند متریک و همبندی، توابع مقدماتی و خواص نگاشتی آنها، توابع تحلیلی و معادلات کوشی ریمان، توابع همساز، انتگرال‌گیری مختلط، قضیه کوشی-گورسات، فرمول انتگرال کوشی و کاربردهای آن، قضیه لیوویل، قضیه‌ی اساسی جبر، سری‌های توانی، سری تیلور، سری لوران، قضیه ماکزیمم کالبد، تکین‌ها و صفرها، انواع تکینگی‌ها، قضیه روشه، قضیه‌ی هرویتس، حساب مانده‌های کوشی و کاربرد آن در محاسبه انتگرال‌های ناسره، تبدیلات خطی-کسری، نظریه نگاشت‌های همدیس.
هندسه دیفرانسیل
ضروت ارائه‌ی درس
هندسه دیفرانسیل بعنوان شاخه‌ای از ریاضیات با هدف مطالعهُ خواص هندسی با استفاده از ابزار حساب دیفرانسیل و انتگرال، نه فقط برای ایجاد دیدگاه جدیدی از جهان پیرامون برای دانشجو اهمیت دارد، بلکه مقدمه‌ای برای درک مطالب پیشرفته‌تر دروس کارشناسی و مقاطع بالاتر است. این درس تقریباً در هم‍هُ دانشگاه‌های طراز اول دنیا از دروس اصلی دانشکده‌های ریاضی و حتی فیزیک است. برای بیان اهمیت این درس برای دانشجویان ریاضی و غیر ریاضی، در ادامه به علوم دیگری که با مباحث هندسه دیفرانسیل سرو کار دارند و برخی کاربردهای آن در این علوم اشاره می‌کنیم: فیزیک (نظریه نسبیت عام اینشتین، الکترومغناتیس، مکانیک‌های لاگرانژ و هامیلتون، ترمودینامیک)، شیمی و بیوفیزیک (مدل‌سازی غشاء سلولی تحت فشار متغیر)، اقتصاد (اقتصاد متری)، مدل‌سازی هندسی (طراحی هندسی به کمک کامپیوتر و گراف‌های کامپیوتری)، نظریه کنترل (آنالیز کنترل‌کننده‌های غیر خطی)، آمار، احتمال و نظریه اطلاعات (هندسه اطلاعات)، زمین‌شناسی (آنالیز و توصیف ساختارهای ژئودزیک) و ...
شرح درس
خم‌های پارامتری، پارامتری سازی مجدد، انحنا، خم‌های مسطح، خم‌های فضایی، انحناِی خم‌های فضایی، تاب و کنج فرنه، معادلات طبیعی، حرکات صلب، قضیه‌های هاف و جردن، قضیه گرین. رویه‌ها، رویه‌های پارامتری، رویه‌های عادی(منظم) و صفحه مماس، تغییر مختصات، رویه‌های جهت‌پذیر، مساحت رویه، اولین و دومین فرم اساسی، اولین و دومین فرم اساسی در مختصات موضعی. انحنای یک رویه، نگاشت گاوس، انحناهای قائم و اصلی، انحناهای گاوسی و متوسط، مختصات موضعی، رویه‌های خط‌کشی شده و رویه‌های کمینه، معادلات اساسی رویه‌ها، نمادگذاری تانسوری، معادله گاوس و نمادهای کریستوفل، معادلات کٌدازی و قضیه شگفت‌انگیز، قضیه اساسی نظریه رویه‌ها. خم‌ها روی رویه‌ها، انحناها و تاب، مختصات ژئودزی، قضیه گاوس-بونه و کاربردها، هندسه ذاتی.
نظریه مقدماتی معادلات دیفرانسیل
ضرورت ارائه‌ی درس
بسیاری از پدیده‌های غیرخطی که در طبیعت و دنیای واقعی اتفاق می‌افتند توسط معادلات دیفرانسیل غیرخطی مدل می‌شوند. برای بررسی کیفی این پدیده‌ها لازم است که یک تحلیل ریاضی از معادلات دیفرانسیل غیرخطی انجام شود. این تحلیل با تعیین هندسه جریان یک معادله دیفرانسیل (یا همان نمای فاز) کامل می‌شود. بسیاری از مسائل کاربردی در فیزیک، شیمی، برق، مکانیک، زیست شناسی و پزشکی به چنین تحلیلی نیاز دارند. از آنجایی که معادلات دیفرانسیل غیرخطی را نمی‌توان در حالت کلی به صورت تحلیلی حل کرد، لذا مطالعه‌ی رفتار کیفی و مجانبی جواب‌ها در کاربردها اهمیت پیدا می‌کند. هدف اصلی در این درس درک و فهم یا تعیین هندسه‌ی منحنی‌های جواب یک معادله دیفرانسیل در فضای فاز آن می‌باشد. این درس ابزاری را در اختیار ما قرار می‌دهد تا بتوانیم مقدار زیادی اطلاعات کیفی در مورد رفتار موضعی و سراسری جواب‌ها بدست آوریم. این درس مفاهیم و ابزارهای اساسی را برای مطالعه نظریه سیستم‌های دینامیکی در اختیار دانشجویان قرار می‌دهد. در این درس، دانشجویان با مبانی نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل عادی و کاربردهای آن آشنا می‌شوند و یک درک هندسی از موضوع نصیب آنها می‌شود.
شرح درس
معادلات اسکالر و نمای فاز آنها، نقاط تعادل و پایداری آنها، مجموعه‌های حدی، دیاگرام انشعاب معادلات اسکالر وابسته به پارامتر، نگاشت پوانکاره معادلات اسکالر و مشتقات آن، دستگاههای خطی در صفحه و دسته بندی نمای فاز آنها، قضیه اساسی برای دستگاههای خطی، قطری سازی، محاسبه ماتریس e^At برحسب مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس مربعی A، فرم‌های جردن، نظریه پایداری، زیر فضاهای خطی پایدار، ناپایدار و مرکزی یک دستگاه خطی، دستگاههای خطی غیر همگن، ماتریس اساسی جواب‌ها و فرمول تغییر ثابت، قضیه لیوویل و کاربردهای آن، دستگاههای غیرخطی و نظریه موضعی، بازه ماگزیمال وجود جواب، جریان تعریف شده توسط یک معادله دیفرانسیل، خطی سازی، قضیه منیفلد پایدار، قضیه هارتمن-گروبمن، قضیه اساسی وجود و یکتایی، انتگرال اول و دستگاههای حافظ انرژی، دستگاههای نیوتنی، دستگاههای گرادیانی و همیلتونی، پایداری و توابع لیاپانوف، تحلیل صفحه فاز با استفاده از نگاشت پوانکاره.
آنالیز ریاضی ۱
ضرورت ارائه‌ی درس
آنالیز ریاضی بررسی دقیق مفاهیم ارائه شده در دروس ریاضی عمومی بوده، مفاهیمی چون حد، پیوستگی، مشتق و انتگرال با عمق بیشتر و در چهارچوبی جامع‌تر بررسی می‌گردند. بسیاری از خاصیت‌هایی که در دروس ریاضی عمومی به راحتی و با تکیه بر شهود دانشجو پذیرفته می‌شوند، در اینجا اثبات می‌گردند. این امر علاوه بر افزایش مهارت دانشجو در درک مفاهیم مجرد و تحلیلی، به وی کمک می‌کند تا با روش‌های مختلف اثبات آشنا گردد و به این ترتیب آماده ورود به دروس پیشرفته‌تر شود. در درس آنالیز ریاضی 1، دانشجو مفاهیم حد، پیوستگی و مشتق را مورد مطالعه قرار می‌دهد. مفهوم حد، و در پی آن پیوستگی، در ساختاری کلی‌تر از مجموعه اعداد حقیقی، یعنی فضاهای متریک نیز قابل ارائه است. به همین دلیل، بعد از مرور خاصیت‌های اصلی مجموعه اعداد حقیقی و بررسی دنباله‌ها و سری‌های عددی، دانشجو با مفهوم فضای متریک و زیرمجموعه‌های خاص این فضا آشنا می‌شود. سپس مفاهیم حد و پیوستگی توابع بر روی این فضاها مورد مطالعه قرار گرفته، قضایای مهمی از حساب دیفرانسیل و انتگرال مانند قضیه مقادیر میانی و قضیه اکسترمم‌های مطلق بیان و ثابت می‌شوند.
شرح درس
میدان اعداد حقیقی، کوچکترین کران بالا و بزرگترین کران پایین، خاصیت ارشمیدسی اعداد، چگالی اعداد گویا، چگالی اعداد اصم، دستگاه اعداد حقیقی گسترش‌یافته، دنباله‌های عددی، همگرایی و واگرایی یک دنباله، دنباله‌های یکنوا، حد بالا و پایین یک دنباله کراندار، دنباله کوشی، سری عددی، همگرایی و واگرایی یک سری، شرط کوشی برای همگرایی، آزمون‌های همگرایی، همگرایی مطلق و مشروط، تجدید آرایش سری، فضای متریک، مجموعه‌های باز و بسته، مجموعه‌های فشرده، مجموعه‌های همبند، دنباله‌ها در یک فضای متریک، دنباله‌های کوشی و فضاهای متریک تام، پیوستگی توابع، پیوستگی بر یک مجموعه، خاصیت‌های توپولوژیک توابع پیوسته، پیوستگی و فشردگی، پیوستگی و همبندی، قضیه مقادیر میانی، پیوستگی یکنواخت، مشتق توابع حقیقی یک متغیره، قضیه مقادیر میانی برای مشتق.
احتمال و کاربرد آن
ضرورت ارائه‌ی درس:
احتمال یکی از دروس اصلی ریاضی است که در سال‌های اخیر با توجه به وجود داده‌ها و به کارگیری آنها در تحقیقات و نیز کاربرد این علم پایه‌ای در تحقیقات مهم ریاضی از اهمیت خاصی برخوردار است. دانشجویان ریاضی که مایل به انجام تحقیقات جدید و به روز هستند به آشنایی با این علم نیاز فراوان دارند.کارشناسان ریاضی هم که در نهادهای مختلف قصد برنامه‌ریزی دارند برای پیش‌بینی آینده باید آشنایی وسیعی با علم احتمال داشته باشند. لذا وجود چنین درسی در دوره کارشناسی ریاضی جهت رسیدن به اهداف فوق کاملا ضروری است.
شرح درس
اصول احتمال، فضای نمونه، پیشامدها، احتمال یک پیشامد، گزاره‌های احتمال و مدل‌های احتمالی، پیوستگی تابع احتمال، احتمال شرطی و استقلال، قانون بیز و کاربردهای آن، متغیرهای تصادفی، تابع توزیع، متغیرهای تصادفی گسسته و تابع جرمی احتمال، امید ریاضی و خواص آن، امید ریاضی تابعی از متغیر تصادفی گسسته، متغیرهای تصادفی گسسته خاص مانند برنولی، دوجمله‌ای، پوآسون، هندسی، دو جمله‌ای منفی، فوق هندسی و زتا، متغیر تصادفی پیوسته، تابع چگالی احتمال، امید ریاضی و واریانس متغیرهای تصادفی پیوسته، متغیرهای تصادفی پیوسته خاص مانند یکنواخت، نرمال، نمایی، گاما، وایبل، کوشی و بتا، متغیرهای تصادفی با توزیع توام، کوواریانس و ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی، متغیرهای تصادفی مستقل، توزیع‌های شرطی، حالت گسسته و پیوسته، توزیع توام توابعی از متغیرهای تصادفی، امید ریاضی شرطی و کاربردهای آن، نامساوی‌های احتمالی مانند مارکف و چبیشف، قانون ضعیف اعداد بزرگ، تابع مولد گشتاور و کاربردهای آن، قضیه حد مرکزی.
جبر خطی ۱
ضرورت ارائه‌ی درس
جبر خطی از مهمترین مباحث در ریاضی است. در این مبحث ماتریس‌ها، دستگاه معادلات خطی، فضاهای برداری، تبدیل‌های خطی مطالعه می‌شوند. کاربردهای نظری و عملی بسیار زیاد، جبر خطی را به شاخه‌ای جذاب از ریاضی تبدیل کرده است. کمتر شاخه‌ای از ریاضیات را میتوان یافت که از جبر خطی استفاده نکند. این اهمیت باعث شده درس جبر خطی درس پایه‌ای برای برخی از رشته‌های کارشناسی و تحصیلات تکمیلی علوم و مهندسی مطرح باشد. در اولین برخورد با جبر خطی لازم است علاوه بر آماده سازی دانشجو برای درک مفاهیم نظری، جنبه‌های کاربردی و محاسباتی آن نیز مورد توجه قرار گیرد. برای اولین درس بهتر است برخی مفاهیم نظری ساده‌تر ارائه و از اثبات‌های نظری پیچیده و مشکل صرف‌نظر کرد.
شرح درس
ماتریس‌ها و اعمال جبری روی آنها، دستگاه معادلات خطی، اعمال سطری مقدماتی، ماتریس‌های سطری پلکانی تحویل یافته، رتبه ماتریس، محاسبه وارون یک ماتریس، دترمینان و خواص مقدماتی آن، فضاهای برداری و خواص آنها، مثال‌های مهم فضاهای برداری، زیرفضا، استقلال و وابستگی خطی، پایه و بعد، جمع زیرفضاها، فضاهای ضرب داخلی، قضیه‌ی گرام-اشمیت، تجزیه‌ی متعامد، تبدیل‌های خطی، ماتریس یک تبدیل خطی، ماتریس تبدیل پایه، رتبه و پوچی تبدیل خطی، مقادیر و بردارهای ویژه، چندجله‌ای سرشت‌نما، چندجملهای می‌نیمال، قضیه تجزیه اولیه یا طیفی، قضیه کیلی همیلتون، فرم‌های مثلثی، فرم‌های ژردان.
نظریه‌ی اعداد
ضرورت ارائه‌ی درس:
محور اصلی درس نظریه اعداد مطالعه اعداد است. از شاخه های اصلی نظریه اعداد میتوان به نظریه جبری اعداد، نظریه تحلیلی اعداد، نظریه محاسباتی اعداد، نظریه احتمالاتی اعداد و نظریه ترکیبیاتی اعداد اشاره کرد. الگوریتم های اعداد اول وتوابع توزیع آنها به ویژه الگوریتمهای سریع برای امتحان اعداد اول و تجزیه اعداد صحیح در رمزنگاری و علوم کامپیوتر کاربردهای مهمی دارند.
هدف اصلی در این درس آشنایی با مفاهیم مقدماتی در مورد اعداد صحیح، اعداد اول، معادله های همنهشتی و معادله های سیاله است. ارائه این درس به عنوان درس اصلی در دوره کارشناسی ریاضی ضروری است.
شرح درس
بخشپذیری، الگوریتم تقسیم، بزرگترین مقسوم علیه مشترک، الگوریتمهای سریع برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک، معادله های دیوفانتین خطی، اعداد اول، تجزیه به توان‌های اعداد اول، توزیع اعداد اول، اعداد اول فرما و مرسن، هم نهشتی‌ها، محاسبات پیمانه ای، هم نهشتی‌های خطی، قضیه باقیمانده چینی، حساب در Zp، قضیه کوچک فرما، تابع اویلر، اعداد شبه اول، هم نهشتی‌ها در پیمانه توان یک عدد اول، گروه یکهها، ریشههای اولیه، مانده‌های مربعی، نماد لژاندر، محک اویلر، لم گاوس، قانون تقابل مربعی، اعداد تام، توابع حسابی، حلقه توابع حسابی، دستور عکس موبیوس، مجموع مربع‌ها، قضیه مجموع دو مربع، کسرهای مسلسل، حل برخی معادله‌های دیوفانتین، کاربرد فراگیر اعداد اول در رمزنگاری، آشنایی با نرم افزارهای ریاضی برای پیاده سازی الگوریتمهای ارائه شده در این درس.
جبر۱
ضرورت ارائه‌ی درس
جبر ابزاری دقیق و توانمند در ریاضیات است. در این مبحث از ریاضیات است که استدلال‌های منطقی به بهترین وجه نمایان می‌شوند. میزان مستدل بودن هر علمی به درجه تبدیل مساله‌های آن به مدل‌های ریاضی بستگی دارد. نقش جبر در ریاضیات قابل قیاس با نقش ریاضیات در علوم است. بسیاری از ساختارهایی که در شاخه‌های مختلف علوم ریاضی ظاهر می‌شوند، در مبحث جبر به صورت انتزاعی مطالعه می‌شوند، که باعث پیشرفت هر دو شاخه می‌شود. در اولین برخورد با این درس دو مفهوم گروه و حلقه به صورت دقیق مطالعه می‌شوند. از آنجایی که این درس تقریبا در همه‌ی درسهای علوم ریاضی به نوعی مطرح می‌شود و دروازه‌ای به دروس نظری ریاضیات و علوم کامپیوتر است، اطمینان از درک صحیح دانشجویان از مفاهیم و قضایای آن کمک شایانی به فهم بهتر ریاضیات و کاربردهای آن می‌کند. تسلط دانشجویان بر این درس پایه‌ی محکمی برای درسهای بعدی و تجربه با ارزشی برای مطالعه بیشتر اصل موضوعی در ریاضیات را فراهم می‌کند.
شرح درس:
مرور برخی خواص مجموعه‌ها، روابط و توابع، اعمال دوتایی، رابطه‌های هم‌ارزی، مرور خواص اساسی اعداد صحیح، نیم‌گروه، تکوار، گروه، خواص مقدماتی گروه، مثال‌‌هایی از گروهها (گروه دووجهی، گروه چهارگان، گروه شبه دوری، ...)، جدول کیلی، معرفی و بررسی خواص گروه‌های مهم از قبیل گروه رده‌های مانده‌ای به پیمانه n و گروه جایگشت‌ها روی n حرف، زیرگروه، زیرگروه‌های مهم یک گروه، مرکز‌ساز یک عضو، مرکز، نرمال‌ساز یک زیرگروه، گروه دوری، ساختار گروه‌های دوری، مرتبه‌ي یک عضو، تولید گروهها، گروه متناهی تولید، هم‌مجموعه‌ها، شاخص یک زیرگروه، معادله‌ی رده‌ای و کاربردهای آن، قضیه‌ی لاگرانژ، زیرگروه‌های نرمال، ساده بودن گروه متناوب، گروه‌های خارج قسمتی، قضیه‌ی کُشی، همریختی، گروه خودریختی‌های یک گروه دوری، قضایای یکریختی، ساختار گروه‌های آبلی متناهی، حلقه، خواص مقدماتی حلقه‌ها، حلقه‌ی ماتریس‌ها، مقسوم علیه صفر، اعضای وارون‌پذیر، اعضای پوچ‌توان و خودتوان، دامنه‌ی صحیح، زیرحلقه، همریختی، ایدآل، حلقه‌ی خارج قسمتی، قضایای یکریختی، حلقه‌ی کسرهای یک دامنه‌ی صحیح، مرور مختصر حلقه‌ی چندجملهایها، چندجملهایهای تحویل‌ناپذیر، تجزیه‌ی چندجملهایها روی یک میدان.
مبانی ریاضی
ضرورت ارائه‌ی درس:
یکی اهداف اصلی در اولین درسهای ریاضی آشنا شدن دانشجو با نحوه تفکر ریاضی و ارائه اثبات است. در این درس ضمن دنبال کردن این هدف، دانشجو با دو مفهوم بسیار اصلی در ریاضیات، یعنی مفهوم مجموعه و تابع نیز آشنا می‌شود. در عین حال مفاهیمی چون شمارش‌پذیری و ناشمارایی، کاردینال‌ها و لم زورن نیز مورد بررسی قرار می‌گیرد. در ارتباط با هدف اولیه درس، یعنی آشنایی دانشجو با نحوه استدلال ریاضی، اصول اولیه‌ای که ریاضیات بر پایه آنها بنا شده است بیان شده، عاری بودن یا نبودن ریاضیات از تناقض مورد بررسی قرار می‌گیرد.
شرح درس:
آشنایی با منطق گزاره‌ها و منطق محمول‌ها، منطق مرتبه اول، نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها و بیان ضرورت آن با پرداختن به برخی تناقض‌ها از جمله تناقض راسل، جبر بولی مجموعه‌ها، خانواده اندیس‌دار مجموعه‌ها، اجتماع و اشتراک یک خانواده، حاصلضرب دکارتی دو مجموعه، رابطه، رابطه‌های هم‌ارزی و ارتباط آنها با افرازها، مجموعه کلاس‌های هم‌ارزی، ترکیب دو رابطه، تابع، تحدید و توسیع توابع، تابع یک به یک و پوشا، توابع وارون چپ و وارون راست، تابع وارون، هم‌توانی، مجموعه‌های متناهی و نامتناهی، مجموعه‌های شمارش‌پذیر و ناشمارا، شمارش‌پذیری مجموعه اعداد گویا و ناشمارایی مجموعه اعداد حقیقی، اعداد اصلی، ترتیب در اعداد اصلی، قضیه شرودر-برانشتاین، حساب اعداد اصلی مانند جمع و ضرب، توان اعداد اصلی، لم زورن، اصل خوش‌ترتیبی، اصل انتخاب، ساختار اعداد.