صفحه درس توابع مختلط (آنالیز مختلط)

نام درس: توابع مختلط (یا آنالیز مختلط)

مدرس (در ترم ۴۰۴۲): محسن خانی

درس(ت): يك شنبه 08:00-10:00 مکان: رياضي3
درس(ت): سه شنبه 08:00-10:00 مکان: رياضي3
امتحان(7_1405.04.08) ساعت : 17:00-19:00

مدرس حل تمرین:‌ مهریار علوی

فیلم‌بردار و ویرایشگر فیلم‌ها: سارا حسینی

آدرس کانال همای درس

کد کیو آر این صفحه:

اطلاعیه.

در هفته‌های پیش رو کلاس درس همچنان فیلم‌برداری خواهد شد. حضور و یا عدم حضور در کلاس درس اختیاری خواهد بود. در هر صورت فیلمهای کلاس درس در اختیار دانشجویان قرار خواهد گرفت.

توضیح در مورد درس:

درس آنالیز مختلط از جذاب ترین درسهای دوره کارشناسی است. در این درس خواهیم دید که چگونه اضافه کردن یک عدد خیالی به مجموعهٔ اعداد حقیقی، منجر به ویژگی‌های غیر منتظره آنالیزی می‌شود و این ویژگی‌ها چه کاربردهای گسترده‌ای دارند. عدد خیالی مورد نظر ما، عددی است که توان دوم آن برابر با منهای یک است.

در این درس با توابع هولومرفیک (مشتق‌پذیر) دراعداد مختلط آشنا خواهیم شد و خواهیم دید که:

یک - وقتی یک تابع مختلط یک بار مشتق‌پذیر باشد، بینهایت‌ بار مشتق‌پذیر است و می‌توان آن را به صورت سری نشان داد.

دو - انتگرال یک تابع مختلط هولومرفیک روی میسرهای خاصی صفر است.

سه - اگر دو تابع هولومرفیک فقط روی یک مجموعهٔ باز هم با هم برابر باشند در همه دامنه با هم برابرند.

چهار- با استفاده از انتگرالگیری توابع مختلط، می‌توانیم برخی انتگرالهای حقیقی را حل کنیم.

پنج - تابع زتا (که در درس با آن آشنا خواهیم شد) به «توزیع اعداد اول» در مجموعهٔ‌ اعداد طبیعی مربوط است.

شش - با نگاشتهای همدیس (conformal) و اثبات قضیهٔ ریمان (تناظر بین ناحیه هم‌بند ساده و دیسک) آشنا خواهیم شد و با این قضیه درس را به اتمام می‌رسانیم.

منابع درس:

احتمالاً جزوه درس توسط دانشجویان علاقه‌مند تایپ شود. اما تنها خواندن جزوه کافی نخواهد بود. منابع اصلی درس (که نیاز است که دانشجویان همهٔ آنها را در کنار داشته باشند و اولی را به طور جدی مطالعه کنند) موارد زیر هستند:

Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2010). Complex analysis (Vol. 2). Princeton University Press

پیوند بارگیری

حل تمرینهای کتاب

Brown, J. W., & Churchill, R. V. (2009). Complex variables and applications. McGraw-Hill

پیوند بارگیری

Ahlfors, L. V., & Ahlfors, L. V. (1979). Complex analysis (Vol. 3). New York: McGraw-Hill

پیوند بارگیری

آنالیز مختلط - نگرش هندسی

پیوند مشاهده فارسی

پیوند مشاهده انگلیسی

Complex Variables- A Physical Approach

پیوند مشاهده

برای دانشجویان محترمی که قصد حل تمرین‌های متنوع دارند، کتاب «ریاضی مهندسی» نوشتهٔ همکار ارجمندم آقای دکتر مرزبان را توصیه می‌کنم.

قوانین و بارم‌بندی

کلاس تمرین: ۳ نمره

میان‌ترم ۶ نمره

پایان‌ترم ۱۱ نمره (این بارم‌بندی‌ها می‌تواند بسته به نظر مدرس در حد یکی دو نمره جابه‌جا شود).

حضور در کلاس درس الزامی است و با غیبت در درس مطابق قانون برخورد خواهد شد.

نحوهٔ‌ پخش نمرات (با فرض ۲۴ دانشجو‌) تقریبا به صورت زیر خواهد بود:

عالی (۱۸-۲۰): ۴ نفر (حدود ۱۶.۷٪)
خوب (۱۶-۱۷): ۸ نفر (حدود ۳۳.۳٪)
متوسط (۱۴-۱۵): ۸ نفر (حدود ۴۱.۷٪)
ضعیف (۱۲-۱۳): ۲ نفر (حدود ۸.۳٪)
بسیار ضعیف (زیر ۱۲ و افتاده): ۲ نفر

فیلم‌برداری کلاس درس:

فیلمهای کلاس درس این جا قرار خواهد گرفت. از آنجا که تا پیش از تعطیلات نوروز، کلاسها مجازی است، فیلمها با یک جلسه تاخیر در اختیار شما قرار خواهد گرفت. یعنی روز یکشنبه کلاس درس به صورت حضوری فیلم‌برداری می‌شود و روز سه‌شنبه (در زمان مقرر کلاس)‌ فیلم‌ کلاس در اختیار دانشجو قرار خواهد گرفت. مشابهاً کلاسی که سه‌شنبه فیلم‌برداری شده است یکشنبه بعدی در دسترس خواهد بود.

بعد از هر سه چهار جلسه فیلم‌برداری شده، یک جلسه رفع اشکال به صورت آنلاین برگزار خواهد شد.

فیلم جلسهٔ اول -- معرفی اعداد مختلط

فیلم جلسه دوم -- مفاهیم توپولوژیک و شروع توابع هولومرفیک

فیلم جلسهٔ سوم -- معادلات کُشی ریمان و توابع هولومرفیک

فیلم جلسهٔ چهارم -- ادامه توابع هولومرفیک و سری‌های توانی

فیلم جلسهٔ پنجم -- اصلاح قضیه انتگرال و حل چند تمرین

فیلم جلسهٔ ششم -- قضیهٔ گورسا

فیلم جلسهٔ‌ هفتم -- قضیهٔ کُشی

فیلم جلسهٔ‌ هشتم - حل تمرین از قضیهٔ کشی

فیلم جلسهٔ نهم - حل چند تمرین و فرمول انتگرال کُشی

فیلم جلسهٔ دهم - فرمول انتگرال کُشی و قضیهٔ لیوویل

جلسه یازدهم -- حل تمرین و قضیهٔ موررا